1.În triunghiul ABC se notează cu A', B', C' picioarele bisectoarelor din A, B, respectiv C. Aratati ca AA'+BB'+CC'=0 daca si numai daca ABC este echilateral.
Cum pot demonstra că este echilateral?
2. Se considera triunghiul ABC si punctul D e (BC). Bisectoarea unghiului ADC si ADB intersecteaza laturile [AB] si [AC] in punctele E, respectiv F. Aratati ca EF//BC dca si numai daca D e mijlocul lui [BC].
3. In triunghiul ABC cu AB=3, BC=4, CA=6, se noteaza cu G centrul de greutate si cu I centrul cercului inscris in triunghi. Fie {M}=GInAB si {N}=GInAC. Calculati valorile rapoartelor MB/MA si NC/NA.
Probleme cu vectori
Triunghi echilateral
Presupun că știi relația și analoagele:
Adunăm:
Egalând cu 0 coeficienții celor 2 vectori necoliniari obții relațiile din care deduci a=b=c.
Adunăm:
Egalând cu 0 coeficienții celor 2 vectori necoliniari obții relațiile din care deduci a=b=c.
Despre G si I
Se știe că punctele G și I sunt caracterizate de relațiile:
, (1)
respectiv . (2)
Dacă , adica , atunci
, adică vectorul GM are coordonate proporționale cu x și 1
în raport cu vectorii GA, GB.
Din (2) deducem , ținând cont și de (1), deci coordonatele vectorului GI în raport cu aceeași 2 vectori sunt proporționale cu a-c și b-c.
Cum vectorii GM și GI sunt coliniari, și coordonatele lor sunt proporționale, deci
.
Te descurci cu al doilea raport sau ai întrebări cu privire la cele de mai sus?
, (1)
respectiv . (2)
Dacă , adica , atunci
, adică vectorul GM are coordonate proporționale cu x și 1
în raport cu vectorii GA, GB.
Din (2) deducem , ținând cont și de (1), deci coordonatele vectorului GI în raport cu aceeași 2 vectori sunt proporționale cu a-c și b-c.
Cum vectorii GM și GI sunt coliniari, și coordonatele lor sunt proporționale, deci
.
Te descurci cu al doilea raport sau ai întrebări cu privire la cele de mai sus?
Re: Despre G si I
Multumesc mult. Daca aveti timp sa imi arătaţi si continuare ar fi minunat, ca sa am un exemplu dupa care sa ma iau.ghioknt scrie: ↑13 Ian 2018, 22:18Se știe că punctele G și I sunt caracterizate de relațiile:
, (1)
respectiv . (2)
Dacă , adica , atunci
, adică vectorul GM are coordonate proporționale cu x și 1
în raport cu vectorii GA, GB.
Din (2) deducem , ținând cont și de (1), deci coordonatele vectorului GI în raport cu aceeași 2 vectori sunt proporționale cu a-c și b-c.
Cum vectorii GM și GI sunt coliniari, și coordonatele lor sunt proporționale, deci
.
Te descurci cu al doilea raport sau ai întrebări cu privire la cele de mai sus?
Re: Probleme cu vectori
Chiar cele scrise de mine mai sus constituie un exemplu după care să te iei. Așa că te întreb: care este prima dificultate pe care o întâmpini atunci când vrei să calculezi, cu forțe proprii, al doilea raport? Sau, cu alte cuvinte, care este primul lucru pe care nu l-ai înțeles în textul de mai sus?