1.În triunghiul ABC se notează cu A', B', C' picioarele bisectoarelor din A, B, respectiv C. Aratati ca AA'+BB'+CC'=0 daca si numai daca ABC este echilateral.
Cum pot demonstra că este echilateral?
2. Se considera triunghiul ABC si punctul D e (BC). Bisectoarea unghiului ADC si ADB intersecteaza laturile [AB] si [AC] in punctele E, respectiv F. Aratati ca EF//BC dca si numai daca D e mijlocul lui [BC].
3. In triunghiul ABC cu AB=3, BC=4, CA=6, se noteaza cu G centrul de greutate si cu I centrul cercului inscris in triunghi. Fie {M}=GInAB si {N}=GInAC. Calculati valorile rapoartelor MB/MA si NC/NA.
Probleme cu vectori
Triunghi echilateral
Presupun că știi relația 
și analoagele:
\\\vec{CC'}=\frac{-a}{a+b}\vec{AC}+\frac{b}{a+b}(\vec{AB}-\vec{AC}))
Adunăm:\vec{AB}+(\frac{c}{b+c}+\frac{c}{a+c}-1)\vec{AC})
Egalând cu 0 coeficienții celor 2 vectori necoliniari obții relațiile
din care deduci a=b=c.
Adunăm:
Egalând cu 0 coeficienții celor 2 vectori necoliniari obții relațiile
Despre G si I
Se știe că punctele G și I sunt caracterizate de relațiile:
, (1)
respectiv
. (2)
Dacă
, adica 
, atunci
\vec{GM}=x\vec{GA}+\vec{GB})
, adică vectorul GM are coordonate proporționale cu x și 1
în raport cu vectorii GA, GB.
Din (2) deducem\vec{GI}=a\vec{GA}+b\vec{GB}+c\vec{GC}=(a-c)\vec{GA}+(b-c)\vec{GB})
, ținând cont și de (1), deci coordonatele vectorului GI în raport cu aceeași 2 vectori sunt proporționale cu a-c și b-c.
Cum vectorii GM și GI sunt coliniari, și coordonatele lor sunt proporționale, deci
.
Te descurci cu al doilea raport sau ai întrebări cu privire la cele de mai sus?
respectiv
Dacă
în raport cu vectorii GA, GB.
Din (2) deducem
Cum vectorii GM și GI sunt coliniari, și coordonatele lor sunt proporționale, deci
Te descurci cu al doilea raport sau ai întrebări cu privire la cele de mai sus?
Re: Despre G si I
Multumesc mult. Daca aveti timp sa imi arătaţi si continuare ar fi minunat, ca sa am un exemplu dupa care sa ma iau.ghioknt scrie: ↑13 Ian 2018, 22:18Se știe că punctele G și I sunt caracterizate de relațiile:
respectiv
Dacă
în raport cu vectorii GA, GB.
Din (2) deducem
Cum vectorii GM și GI sunt coliniari, și coordonatele lor sunt proporționale, deci
Te descurci cu al doilea raport sau ai întrebări cu privire la cele de mai sus?
Re: Probleme cu vectori
Chiar cele scrise de mine mai sus constituie un exemplu după care să te iei. Așa că te întreb: care este prima dificultate pe care o întâmpini atunci când vrei să calculezi, cu forțe proprii, al doilea raport? Sau, cu alte cuvinte, care este primul lucru pe care nu l-ai înțeles în textul de mai sus?