matrice

[manu333]

Fie A din M_3(R) astfel incat A^2018=O_3 si exista B din M_3(R) cu proprietatea A^2017B+BA=I_3. Care din urmatoarele afirmatii este adevarata ?
a) A=A^t b) tr(A)=0 c) A^2=O_3 d) A^3=O_3 e) A^1009=O_3 f) nu exista A

[manu333]

E ok, am rezolvat problema

[gigelmarga]

Civilizat ar fi să postați o soluție (chiar într-o variantă prescurtată). Poate au fost utilizatori care, dorind să vă ajute, s-au gândit la problemă. Cele câteva minute consumate de aceștia merită, cumva, răsplătite, nu?

[manu333]

Ok, sigur.
Mai intai, det (A)=0.
Din formula lui Hamilton Cayley avem ca A^2=Tr(A)A.
Daca Tr(A) = 0, A^2017=O_3, deci BA=I_3, imposibil.
Daca TR(A) nu e 0... tot ceva fals se obtine...

[gigelmarga]

Folosiți Hamilton-Cayley în varianta pentru matrici de ordin 2, dar A are ordinul 3, nu?

Concret, dacă A e din M_3(R), nu e adevărat că A^2-Tr(A)A+det(A)I_3=0_3.

Poate n-am citit eu atent...

[manu333]

Da, neatentie... asta inseamna ca nu am facut problema... deci ramane subiect deschis...

[PhantomR]

Folosind ideea dumneavoastra, avem din teorema Cayley-Hamilton pentru matrice de ordinul 3 ca:
, unde . Dar din avem ca si obtinem .

Inmultim relatia cu si rezulta , de unde . De aici, avem doua cazuri: si . Daca , inlocuind in proprietatea din ipoteza obtinem , imposibil pentru ca e neinversabila. Ramane sa analizam cazul .

Inlocuind in relatia avem . Inmultim cu si rezulta . Cazul l-am eliminat anterior, deci rezulta . Revenind la relatia avem , deci rezulta si in acest caz ca .

In concluzie, nu exista matrice (de fapt, demonstratia functioneaza chiar pentru matrice cu elemente complexe) care sa aiba proprietatea ceruta.

[PhantomR]

Precizare: De fapt, pe langa problema de fata, mi-am amintit ca am vazut candva un rezultat care zicea ca o matrice de ordin n e nilpotenta daca si numai daca .

Pentru demonstratie, va rog sa cautati pe Google "Matematica pentru grupele de excelenta clasa a XI-a" (e o carte.. o puteti gasi "online" in format pdf..), pagina 74 din carte (pagina 71 din PDF) la problema R2.6.1.

[Felixx]

Precizare: De fapt, pe langa problema de fata, mi-am amintit ca am vazut candva un rezultat care zicea ca o matrice de ordin n e nilpotenta daca si numai daca .

Pentru demonstratie, va rog sa cautati pe Google "Matematica pentru grupele de excelenta clasa a XI-a" (e o carte.. o puteti gasi "online" in format pdf..), pagina 74 din carte (pagina 71 din PDF) la problema R2.6.1.

Pentru cine vrea sa cumpere cartea:
http://www.edituri.net/matematica-pentr ... -4472.html
sau in format PDF:
http://ro.math.wikia.com/wiki/Fi%C8%99i ... a-XI-a.pdf
https://vignette.wikia.nocookie.net/mat ... -prefix=ro

[manu333]

Multumesc frumos !

[PhantomR]

Cu drag! Am observat cateva greseli de scriere.. le corectez mai jo ca nu mai pot da edit ( ):

Folosind ideea dumneavoastra, avem din teorema Cayley-Hamilton pentru matrice de ordinul 3 ca:
, unde . Dar din avem ca

(corect: ).

[...]
Inlocuind in relatia avem . Inmultim cu

(corect: ar fi trebuit sa fie )