sir convergent

A_Cristian · Mesaj de **A_Cristian** » 22 Dec 2017, 14:59

De multe ori poti sa ghicesti din concluzie cam cum trebuie abordata problema. In acest caz se vorbeste despre o ipotetica limita. Sirurile cele mai banale care au limita sunt cele monotone.
Primul meu gand a fost sa demonstrez ca sirul este monoton si mai exact, ca ar fi descrescator. Dupa ce treci de pasul asta ar trebui sa te descurci cu restul.

Bjarn3 · Mesaj de **Bjarn3** » 22 Dec 2017, 17:01

Știu să demonstrez că este convergent ( cu teorema lui Weierstrass). Dar partea cu calculul limitei mi se pare mai grea.

Semaka · Mesaj de **Semaka** » 23 Dec 2017, 16:58

aplici crireriuL raportului.
Imparti egalitatea prin an si obtii
an+1/an=Vn/(Vn+an^2) <1 => an -->0
Vn=radical n

gunty · Mesaj de **gunty** » 23 Dec 2017, 17:56

Semaka scrie: ↑
23 Dec 2017, 16:58
aplici crireriuL raportului.
Imparti egalitatea prin an si obtii
an+1/an=Vn/(Vn+an^2) <1 => an -->0
Vn=radical n

Nu mi se pare corecta aceasta abordare.
an+1/an<1 NU implica an-->0.
Un contraexemplu:

Bjarn3 · Mesaj de **Bjarn3** » 24 Dec 2017, 12:17

Criteriul raportului este valabil doar daca $\lim_{n\to\infty}\ \frac{a_{n+1}}{a_n}\neq 1$ . IN cazul acesta cred ca este chiar 1. Deci imi poate spune cineva care este limita,va rog?

Semaka · Mesaj de **Semaka** » 25 Dec 2017, 18:19

te complici in calcule, din definitia sirului rezulta ca
an+1/an=Vn/(Vn+a^2n)
numaratorul Vn este evident mai mic decat numitorul Vn+a^2n deci fractia e subunitara.
Esti clar in conditiile raportului

Semaka · Mesaj de **Semaka** » 25 Dec 2017, 18:22

gunty scrie: ↑
23 Dec 2017, 17:56

Semaka scrie: ↑
23 Dec 2017, 16:58
aplici crireriuL raportului.
Imparti egalitatea prin an si obtii
an+1/an=Vn/(Vn+an^2) <1 => an -->0
Vn=radical n
Nu mi se pare corecta aceasta abordare.
an+1/an<1 NU implica an-->0.
Un contraexemplu:
sir_contraexemplu.png

Ba da criteriul raportului asa se aplica, ContraExemplu ales de tine nu este bun pt ca limita lui an+1/an=1 si ea trebuie sa fie subunitara

Semaka · Mesaj de **Semaka** » 25 Dec 2017, 18:24

[/quote]

Nu mi se pare corecta aceasta abordare.
an+1/an<1 NU implica an-->0.
Un contraexemplu:
sir_contraexemplu.png
[/quote]
Ba da criteriul raportului asa se aplica . ContraExemplu ales de tine nu este bun pt ca limita lui an+1/an=1 si ea trebuie sa fie subunitara

Mesaj de **gigelmarga** » 25 Dec 2017, 20:49

Semaka scrie: ↑
25 Dec 2017, 18:24

Ba da criteriul raportului asa se aplica .

Ești în confuzie... Dacă $a_n \rightarrow 0,$ atunci $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+a_n^2}\rightarrow 1,$ deci criteriul raportului nu se poate aplica

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 26 Dec 2017, 09:58

Bjarn3 scrie: ↑
22 Dec 2017, 11:10
$\text{Fie sirul}\ (a_n)_{n\geq 1} \text{,definit prin}\ a_1>0\ \text{si}\ a_{n+1}=\dfrac{a_n\cdot \sqrt{n}}{\sqrt{n}+a_n^2},\ \forall n\geq 1.\\\text{Aratati ca sirul este convergent si calculati limita sa.}$

Bună dimineața tuturor,

Două idei de cercetare:

1) Care sunt extremele funcției $a_{n+1}=\frac{\sqrt{n}\cdot a_{n}}{\sqrt{n}+a^2_{n}}=F(a_{n},\sqrt{n})$ unde $a_{n}=f(n)$ ?

2) Cum am putea rezolva ecuația de recurență $a_{n+1}=\frac{\sqrt{n}\cdot a_{n}}{\sqrt{n}+a^2_{n}}$ ?

Toate cele bune,

Integrator

Mesaj de **ghioknt** » 27 Dec 2017, 22:38

Bjarn3 scrie: ↑
24 Dec 2017, 12:17
Deci imi poate spune cineva care este limita,va rog?

Bag de seamă că nici Moș Crăciun nu ți-a trimis o rezolvare! O fi știut cumva că și tu ai păcătuit, precum mulți pe acest site, schimbând problema originală cu una inventată de tine și mult mai grea?
Oricum, am așteptat și eu o soluție mai luminată, dar cum așa ceva nu a venit, am început să cred că problema se încadrează mai bine la tema "Exemple de șiruri convergente, a căror limită nu se poate afla".
Apoi, stimulat și de perspectiva unor granturi pe niște teme concrete de cercetare propuse mai sus, m-am mai gândit și noaptea trecută am avut următoarea epifanie.
Mai întâi să observ că nu e corect să vorbim despre un singur șir; orice alegere a lui a_1 în intervalul (0; 1] generează un alt șir - șirul descendent din a_1 - și pentru mine nu era deloc evident că toate aceste șiruri ar avea aceeași limită. Ba chiar asta mi se părea a fi cheia problemei.
Avem un șir de funcții $(f_n)_{n\geq 1},\;f_n:[0;1]\to [0;\frac{1}{2}],\;f_n(x)=\frac{\sqrt{n}x}{\sqrt{n}+x^2}$ și un interval (0; 1], din care alegând un t îi asociem șirul
$t=a_1,\;f_1(a_1)=a_2,\;f_2(a_2)=a_3,\;...$ sau, și mai bine,
$a_{n+1}(t)=(f_n\circ f_{n-1}\circ ...\circ f_1)(t)=F_n(t)$ .
Cum fiecare șir este descrescător și mărginit, el este convergent și are o limită l(t)
$f_n'(x)=\sqrt{n}\cdot \frac{\sqrt{n}-x^2}{(\sqrt{n}+x^2)^2}=\frac{f_n(x)}{x}\cdot \frac{\sqrt{n}-x^2}{\sqrt{n}+x^2}$
deci toate $f_n$ sunt strict crescătoare pe [0; 1] și, la fel, $F_n$ .
$f_n''(x)=2\sqrt{n}\cdot \frac{x(x^2-3\sqrt{n})}{(\sqrt{n}+x^2)^3}$ , adică $f'_n$ sunt descrescătoare, iar $f_n$ , deci și $F_n$ sunt concave pe [0;1].
Fie a_1 pentru care șirul descendent (a_n) are limita 0. Atunci, pentru orice b_1<a_1, avem și b_n<a_n, deci și limb_n=0. Înseamnă că l(t)=0 pentru orice t<=a_1.
Presupunem că există a_1 pentru care șirul descendent (a_n) are limita a>0 și fie b_1>a_1.
$b_{n+1}-a_{n+1}=F_n(b_1)-F_n(a_1)=F'_n(c_1)(b_1-a_1)=f'_n(c_n)...f'_1(c_1)(b_1-a_1)\\\leq f'_n(a_n)...f'_1(a_1)(b_1-a_1)=\frac{f_n(a_n)}{a_n}\frac{f_{n-1}(a_{n-1})}{a_{n-1}}...\frac{f_1(a_1)}{a_1}\frac{\sqrt{n}-a_n^2}{\sqrt{n}+a_n^2}...\frac{1-a_1^2}{1+a_1^2}(b_1-a_1)\\\leq \frac{a_{n+1}}{a_1}\left (\frac{\sqrt{n}-a_n^2}{\sqrt{n}+a_n^2} \right )^n(b_1-a_1)$
Limita majorantului este $\frac{a}{a_1}(b_1-a_1)e^{\lim n\frac{-2a_n^2}{\sqrt{n}+a_n^2}}=\frac{a}{a_1}(b_1-a_1)e^{\infty (-2a^2)}=0$
Așadar $\lim (b_{n+1}-a_{n+1})=0$ , deci cele 2 șiruri au aceeași limită.
Am demonstrat că dacă (a_n) are limita nenulă a, atunci l(t)=a pentru orice t>a_1. Marginea inferioară m a mulțimii valorilor lui t pentru care l(t)=a desparte intervalul (0; 1] în I_1=(0; m) și I_2=(m; 1] pe care l(t) ia valorile 0, resp. 1.
Putem alege acum b_1<m<a_1 a. î. $\frac{a_1+b_1}{2}\in I_1$ .
$F_n(\frac{a_1+b_1}{2})\geq \frac{F_n(a_1)+F_n(b_1)}{2}$ , din concavitatea lui F_n. Trecând la limită:
$0\geq \frac{a+0}{2}$ , contradicție, deci nu există șiruri cu limita strict pozitivă.

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 28 Dec 2017, 09:41

ghioknt scrie: ↑
27 Dec 2017, 22:38

Bjarn3 scrie: ↑
24 Dec 2017, 12:17
Deci imi poate spune cineva care este limita,va rog?
Bag de seamă că nici Moș Crăciun nu ți-a trimis o rezolvare! O fi știut cumva că și tu ai păcătuit, precum mulți pe acest site, schimbând problema originală cu una inventată de tine și mult mai grea?
Oricum, am așteptat și eu o soluție mai luminată, dar cum așa ceva nu a venit, am început să cred că problema se încadrează mai bine la tema "Exemple de șiruri convergente, a căror limită nu se poate afla".
Apoi, stimulat și de perspectiva unor granturi pe niște teme concrete de cercetare propuse mai sus, m-am mai gândit și noaptea trecută am avut următoarea epifanie.

$F_n(\frac{a_1+b_1}{2})\geq \frac{F_n(a_1)+F_n(b_1)}{2}$ , din concavitatea lui F_n. Trecând la limită:
$0\geq \frac{a+0}{2}$ , contradicție, deci nu există șiruri cu limita strict pozitivă.

Bună dimineața,

1) Nu am înțeles raționamentul Dvs. și anume nu am înțeles definirea funcției $f_{n}(x)$ și cine este $x$ pe care văd că o considerați o variabilă și nu am înțeles nici cum ați calculat derivata parțială $f'_{n}(x)$ .Dacă $a_{n}$ este o variabilă , atunci de ce nu considerați și funcția $f_{x}(n)$ și respectiv derivata parțială $f'_{x}(n)$ ?Nu ar trebui să considerăm o funcție de două variabile de tipul F(a_{n},\sqrt{n})=G(n)?
2) Rezolvând ecuația de recurență ar trebui să obținem că $a_{n}=f(n)$ si deci după acea putem stabili care este limita șirului.
Vă rog frumos , daca vreți , as dori mai multe lămuriri.Mulțumesc mult!

Toate cele bune,

Integrator

Mesaj de **ghioknt** » 28 Dec 2017, 17:46

Integrator scrie: ↑
28 Dec 2017, 09:41

1) Nu am înțeles raționamentul Dvs. și anume nu am înțeles definirea funcției $f_{n}(x)$ și cine este $x$ pe care văd că o considerați o variabilă și nu am înțeles nici cum ați calculat derivata parțială $f'_{n}(x)$ .Dacă $a_{n}$ este o variabilă , atunci de ce nu considerați și funcția $f_{x}(n)$ și respectiv derivata parțială $f'_{x}(n)$ ?Nu ar trebui să considerăm o funcție de două variabile de tipul F(a_{n},\sqrt{n})=G(n)?

ÎIn primul rând, eu nu am scris niciodată funcția $f_n(x)$ . Dacă citiți cu atenție veți observa că am folosit mereu pluralul atunci când m-am referit la funcțiile notate cu o literă și un indice sau la derivatele lor.
Astfel vorbesc despre $f_1(x)=\frac{x}{1+x^2},\;f_2(x)=\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2}+x^2},\;f_3(x)=\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{3}+x^2}$ șamd.
În al doilea rând, eu știam că folosirea literei x ca variabilă, atunci când definesc niște funcții, este liberă, deci nu am de dat socoteală despre asta, si apoi am precizat domeniul de definiție, comun tuturor $f_n$ .
În al treilea rând, când scriu $f_n:[0;1]\to [0;1]$ (corectez aici mica scăpare din textul original) este clar că un interval nu poate fi decât domeniul de definiție al unei funcții de o variabilă, x, nu de două variabile. Atunci de ce insinuați că $f'_n(x)$ ar desemna o derivată parțială? Pur și simplu, expresia lui $f'_n(x)$ se obține din aplicarea regulilor de derivare pentru $\sqrt{n}\left ( \frac{x}{\sqrt{n}+x^2} \right )'$ , unde litera n desemnează o constantă.
Apoi, ideea cu G(n) nu îmi aparține, deci nu văd de ce ar trebui să ...

Cu bine,

ghioknt

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 29 Dec 2017, 07:22

ghioknt scrie: ↑
28 Dec 2017, 17:46

Integrator scrie: ↑
28 Dec 2017, 09:41

1) Nu am înțeles raționamentul Dvs. și anume nu am înțeles definirea funcției $f_{n}(x)$ și cine este $x$ pe care văd că o considerați o variabilă și nu am înțeles nici cum ați calculat derivata parțială $f'_{n}(x)$ .Dacă $a_{n}$ este o variabilă , atunci de ce nu considerați și funcția $f_{x}(n)$ și respectiv derivata parțială $f'_{x}(n)$ ?Nu ar trebui să considerăm o funcție de două variabile de tipul F(a_{n},\sqrt{n})=G(n)?

ÎIn primul rând, eu nu am scris niciodată funcția $f_n(x)$ . Dacă citiți cu atenție veți observa că am folosit mereu pluralul atunci când m-am referit la funcțiile notate cu o literă și un indice sau la derivatele lor.
Astfel vorbesc despre $f_1(x)=\frac{x}{1+x^2},\;f_2(x)=\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2}+x^2},\;f_3(x)=\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{3}+x^2}$ șamd.
În al doilea rând, eu știam că folosirea literei x ca variabilă, atunci când definesc niște funcții, este liberă, deci nu am de dat socoteală despre asta, si apoi am precizat domeniul de definiție, comun tuturor $f_n$ .
În al treilea rând, când scriu $f_n:[0;1]\to [0;1]$ (corectez aici mica scăpare din textul original) este clar că un interval nu poate fi decât domeniul de definiție al unei funcții de o variabilă, x, nu de două variabile. Atunci de ce insinuați că $f'_n(x)$ ar desemna o derivată parțială? Pur și simplu, expresia lui $f'_n(x)$ se obține din aplicarea regulilor de derivare pentru $\sqrt{n}\left ( \frac{x}{\sqrt{n}+x^2} \right )'$ , unde litera n desemnează o constantă.
Apoi, ideea cu G(n) nu îmi aparține, deci nu văd de ce ar trebui să ...

Cu bine,

ghioknt

Bună dimineața,

Citat din "Wikipedia":
"Derivata parțială a unei funcții $f$ în raport cu variabila $x$ este scrisă ca $f_x$ sau $\frac{\partial f}{\partial x}$ . Simbolul derivatei parțiale, $\partial$ , este o literă rotunjită, deosebindu-se de simbolul $d$ drept cu care se notează derivata totală. Notația a fost introdusă de Legendre și a devenit universal acceptată după ce a fost reintrodusă de Jacobi.".
Am pus întrebarea , "Nu ar trebui să considerăm o funcție de două variabile de tipul $F(a_{n},\sqrt{n})=G(n)$ ?" deoarece neștiindu-se care este expresia lui $a_{n}=f(n)$ , atunci ar trebui să considerăm funcția $a_{n+1}$ ca fiind o funcție compusă și deci ar rezulta derivata $a'_{n+1}=H(n,a'_{n})$ .
-------------------------------------------------------
Acum am înțeles cumva raționamentul Dvs. cu excepția notațiilor Dvs. $f_{n}(x)$ și $f'_{n}(x)$ pe care le-am considerat ca fiind derivate parțiale în raport cu variabila $n$ și unde $x=a_{n}$ .....Am să recitesc cu atenție și sper să înțeleg raținamentul Dvs..Mulțumesc mult!

Cu stimă,

Integrator

Mesaj de **ghioknt** » 29 Dec 2017, 15:28

Integrator scrie: ↑
29 Dec 2017, 07:22

Citat din "Wikipedia":
"Derivata parțială a unei funcții $f$ în raport cu variabila $x$ este scrisă ca $f_x$ sau $\frac{\partial f}{\partial x}$ . Simbolul derivatei parțiale, $\partial$ , este o literă rotunjită, deosebindu-se de simbolul $d$ drept cu care se notează derivata totală. Notația a fost introdusă de Legendre și a devenit universal acceptată după ce a fost reintrodusă de Jacobi.".
Am pus întrebarea , "Nu ar trebui să considerăm o funcție de două variabile de tipul $F(a_{n},\sqrt{n})=G(n)$ ?" deoarece neștiindu-se care este expresia lui $a_{n}=f(n)$ , atunci ar trebui să considerăm funcția $a_{n+1}$ ca fiind o funcție compusă și deci ar rezulta derivata $a'_{n+1}=H(n,a'_{n})$ .
-------------------------------------------------------
Acum am înțeles cumva raționamentul Dvs. cu excepția notațiilor Dvs. $f_{n}(x)$ și $f'_{n}(x)$ pe care le-am considerat ca fiind derivate parțiale în raport cu variabila $n$ și unde $x=a_{n}$ .....Am să recitesc cu atenție și sper să înțeleg raținamentul Dvs..Mulțumesc mult!

Bună ziua,

Trag concluzia că dumneaei, Coana "Wikipedia", este cea care, mie nu îmi dă voie să notez derivatele unor funcții ca
$f_1,\;f_2,\;f_n$ cu $f'_1,\;f'_2,\;f'_n$ pentru că, vezi Doamne, s-ar confunda cu derivate parțiale (în raport cu niște variabile care nici măcar nu au fost nominalizate ca atare), în timp ce Dvs vă dă voie să notați cu $a'_{n+1}$ tocmai derivata "funcției" $a_n$ .
Punctul meu de vedere a fost să scot în evidență faptul că ar fi bine să vorbim nu de un singur șir, ci de o infinitate de șiruri (fiecare cu limita lui), din moment ce fiecare alegere a lui $a_1$ generează alt șir, apoi să redefinesc șirurile din problemă cu ajutorul unor funcții, nu să definesc niște funcții cu ajutorul "șirului" dat.
În așteptarea altor întrebări,

Cu bine,

ghioknt

Bjarn3 · Mesaj de **Bjarn3** » 30 Dec 2017, 11:07

Am gasit o problema asemanatoare in gazeta matematica.Este vorba despre pr. nr. 27257 din nr 6-7-8 din 2016. Atat ca in loc de $\sqrt{n}$ este n dar in rest rezolvarea este la fel.
Tot ce trebuia sa fac era sa rastorn fractia si ar fi dat $\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_{n}}=\dfrac{a_n}{\sqrt{n}}$ si prin insumare termenii se simplificau

) (limita este 0).
Oricum va multumesc ca v-ati straduit. Poate data viitoare nu ganditi atat de "outside of the box" .O zi faina !

Mesaj de **ghioknt** » 30 Dec 2017, 13:13

Bjarn3 scrie: ↑
30 Dec 2017, 11:07
Am gasit o problema asemanatoare in gazeta matematica.Este vorba despre pr. nr. 27257 din nr 6-7-8 din 2016. Atat ca in loc de $\sqrt{n}$ este n dar in rest rezolvarea este la fel.
Tot ce trebuia sa fac era sa rastorn fractia si ar fi dat $\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_{n}}=\dfrac{a_n}{\sqrt{n}}$ si prin insumare termenii se simplificau ) (limita este 0).
Oricum va multumesc ca v-ati straduit. Poate data viitoare nu ganditi atat de "outside of the box" .O zi faina !

Îți mulțumesc în numele meu și al altor cititori că ne-ai luminat! Am știut eu că există și o soluție "de gazetă", dar nu mi-a venit. Gândirea mea, veșnic "nu știu cum", atât a produs și sunt conștient că puțini vor citi această rezolvare infernală.
Acum, dacă tot ai postat această problemă-test, poate redactezi și soluția cu termenii care se simplifică

, să avem și noi parte de subtilitățile unei altfel de gândiri.

Bjarn3 · Mesaj de **Bjarn3** » 30 Dec 2017, 20:37

$\text{Solutie. Evident,}\ a_n>0,\forall n\in \mathbb{N}*\ \text{si}\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+a_n^2}<1,\text{deci sirul}\ (a_n)_{n\geq 1} \text{este strict descrescator,deci convergent.}\\ \text{Cum}\ \dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n}+a_n^2}{\sqrt{n}\cdot a_n},\text{rezulta ca}\ \dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{a_n}{\sqrt{n}}, (1).\text{Prin insumarea relatiilor (1) obtinem: }\\ \dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_1}+\sum_{k=1}^{n} \dfrac{a_k}{\sqrt{k}}\geq \dfrac{1}{a_1}+l\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k},\text{unde l=}\lim_{n\to\infty} a_n.\\ \text{Daca l>0,cum}\ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}=\infty,\text{rezulta ca}\ \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{a_n}=\infty,\text{ deci l=0,contradictie.In consecinta,}\ \lim_{n\to\infty} a_n=0.$

smecher,nu ?

Intrebarea este cum se demonstreaza ca: $\lim_{n\to\infty}a_n=\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}$ este infinit.
.....Urca si el asa catinel pana la infinit,nu se grabeste.

.

Bjarn3 · Mesaj de **Bjarn3** » 30 Dec 2017, 20:55

Apropos, mai am inca 1312421251421948261421 de probleme interesante pe care nu reusesc sa le rezolv. O sa le post "within the next weeks" deci daca vreti sa va revansati puteti arunca un ochi peste ele. Ok,serios acum, as vrea sa ma calific anul asta la ONM deci o sa am nevoie de oleaca de ajutor,daca credeti ca imi puteti oferi "a helping hand" v-as fi indatorat.

Forum AniDeȘcoală.ro

sir convergent

sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent

Re: sir convergent