Numere complexe

[Glow 'n' Show]

Salut. Am o problema pe care nu stiu de unde s-o incep:
Notez cu zA= z indice A si cu zA^3= (z indice A) la puterea a 3-a
fie zA,zB,zC 3 numere complexe cu |zA|=|zB|=|zC|=1
zA+zB+zC=1 si zA^3+zB^3+zC^3=1
Demonstrati ca zA^(2n+1) , zB^(2n+1) , zC^(2n+1) sunt afixele varfurilor unui triunghi dreptunghic.
O sugestie?
* am incercat sa scriu corect matematic dar ceva nu merge..da,cu butonul "Insereaza formule matematice" *
ex: [tex]z_{A} + z_{B} + z_{C}=1[/tex]

[gigelmarga]

Problema e o variațiune pe o temă clasică. Cred că prof. Marcel Țena a propus primul o problemă pe această idee.
Anume: dacă atunci două dintre numere au suma 0.

Problema apare pe site de mai multe ori. De asemenea, în ultimii 8 ani a fost propusă de cel puțin 4 ori la olimpiada județeană sau finală (deghizată în fel și chip). Căutați pe site.

[gigelmarga]

Desigur, căutarea e mai dificilă pentru că majoritatea utilizatorilor site-ului nu realizează cât de importantă e denumirea postului. De exemplu, unii ar numi acest post în loc de "trei numere complexe cu același modul", ceea ce se găsește imediat cu un search, "Numere complexe" pur și simplu...

[Glow 'n' Show]

Am gasit subiectul de la judeteana din 2016 unde era o problema asemanatoare, deci ca sa demonstrez ca zA^(2n+1) , zB^(2n+1) , zC^(2n+1) sunt afixele varfurilor unui triunghi dreptunghic, demonstrez ca 2 dintre ele sunt opuse diameteral? * nu am mai lucrat probleme de tipul asta, am nevoie de ajutor*

[ghioknt]

Relațiile devin în complex ,
ceeace înseamnă că H se află pe cercul circumscris triunghiului ABC.
Ori, ortocentrul se poate afla pe cercul circumscris triunghiului, numai dacă el coincide cu unul dintre vârfuri, deci
triughiul este dreptunghic! Atunci celelalte două vârfuri sunt diametral opuse, adică, în condițiile în care O este și
originea sistemului de axe, afixele lor sunt opuse.
Se vede de aici că ultima ipoteză, cea cu cuburile, este de prisos.
Dar și ipoteza poate fi înlocuită cu ipoteza mai slabă
Fie triunghiul ABC înscris în cercul de centru O și rază R.

(prin transformarea sumelor în produse).
Se vede atunci că relația OH=R are loc numai dacă cosAcosBcosC=0, deci numai în triunghiuri dreptunghice.

[gigelmarga]

Să presupunem că a,b,c sunt complexe și avem |a|=|b|=|c|=|a+b+c|=1 (valoarea poate fi oricât...am pus 1 pentru simplificarea scrierii).
Atunci, trecând la conjugate, obținem 1/a+1/b+1/c=1, deci (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=1, de unde (a+b+c)(ab+bc+ca)=abc.

Nu e greu de văzut că ultima egalitate e echivalentă cu (a+b)(b+c)(c+a)=0, deci...

[Glow 'n' Show]

rezulta ca fie a=-b, fie a=-c fie b=-c deci daca consideram triunghiul ABC (inscris intr-un cerc de raza R si centru O )cu A de afix a, B de afix b si C de afix c, el va fi dreptunghic.
E bine?
( si multumesc frumos pentru explicatiile despre O,G,H, am inteles acum de unde au aparut relatiile dintre H si triunghiul dreptunghic)