logaritmi
-
amaxotwod1
- utilizator
- Mesaje: 7
- Membru din: 09 Noi 2016, 16:56
logaritmi
Sa se arate ca urmatoarea expresie este constanta pe domeniul de existenta:
*logx(4)}+\frac{1}{logx(4)*logx(8)}+\cdots +\frac{1}{logx(2^{n-1})*logx(2^{n})})-\frac{n-1}{n(logx(2))^{2})
Re: logaritmi
Ne uitam la suma din paranteza: termenii sunt de forma  \cdot \log_x\left( 2^{k}\right)} = \frac{1}{(k-1)\log_x(2)\cdot k\log_x(2)} = \frac{1}{\left(\log_x2\right)^2} \cdot \frac{1}{(k-1)k})
. Atunci suma din paranteza e egala cu: ^2} \cdot \left(\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + ... + \frac{1}{(n-1)\cdot n}\right) = \frac{1}{\left(\log_x2\right)^2} \cdot \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)= \frac{1}{\left(\log_x2\right)^2} \cdot \left(1- \frac{1}{n}\right) = \frac{n-1}{n\left(\log_x2\right)^2})
.
Atunci expresia data este egala cu
, un numar fix, deci nu depinde de 
(adica e constanta).
Atunci expresia data este egala cu