Sa se determine perechile (a,b) reale pentru care f:R->R ,
f(x)= { a*x, x sau b*x, x
are una dintre proprietatile:
1) este injectiva
2) este surjectiva
Eu am incercat sa gasesc prima data a,b pentru care e injectiva, si am pus in loc de x pe a/b
=> f(a/b)=a. dar f(1)=a => a/b=1 deci a=b sau a/b este rational. Cum as putea continua?
Multumesc anticipat.
Functie injectiva sau surjectiva
Re: Functie injectiva sau surjectiva
Am incalcat vreo regula a forumului sau am scris ceva gresit in enunt?
-
- profesor
- Mesaje: 1532
- Membru din: 21 Oct 2014, 11:31
Re: Functie injectiva sau surjectiva
Conditia a/b rațional este condiția necesară și suficientă și pentru injectivitate, și pentru surjectivitate.
Astfel, dacă f e injectivă, obținem a/b rațional, ca în postarea de mai sus.
Reciproc, dacă a/b e rațional, f e injectivă. Într-adevăr, să alegem x,y astfle ca f(x)=f(y). Dacă x,y au aceeași natură (ambele raționale sau ambele iraționale) obținem imediat x=y. Dacă, de pildă, x e rațional și y irațional, obținem ax=by, de unde a/b=y/x. Dar y/x e irațional, contradicție.
Dacă f e surjectivă, există x astfel ca f(x)=b. Dacă x e irațional, avem f(x)=bx=b, deci x=1, absurd. Deci x e rațional, de unde f(x)=ax=b și, evident, asta conduce la a/b rațional.
Reciproc, dacă a/b e rațional, f e surjectivă. Într-adevăr, fie y real arbitrar. Dacă y/a e rațional, f(y/a)=a*y/a=y. Dacă y/b este irațional, atunci f(y/b)=y. În caz contrar, y/a e irațional și y/b e rațional, deci raportul lor, a/b, e irațional, contradicție. Deci, în orice caz, găsim x real astfel ca f(x)=y.
Astfel, dacă f e injectivă, obținem a/b rațional, ca în postarea de mai sus.
Reciproc, dacă a/b e rațional, f e injectivă. Într-adevăr, să alegem x,y astfle ca f(x)=f(y). Dacă x,y au aceeași natură (ambele raționale sau ambele iraționale) obținem imediat x=y. Dacă, de pildă, x e rațional și y irațional, obținem ax=by, de unde a/b=y/x. Dar y/x e irațional, contradicție.
Dacă f e surjectivă, există x astfel ca f(x)=b. Dacă x e irațional, avem f(x)=bx=b, deci x=1, absurd. Deci x e rațional, de unde f(x)=ax=b și, evident, asta conduce la a/b rațional.
Reciproc, dacă a/b e rațional, f e surjectivă. Într-adevăr, fie y real arbitrar. Dacă y/a e rațional, f(y/a)=a*y/a=y. Dacă y/b este irațional, atunci f(y/b)=y. În caz contrar, y/a e irațional și y/b e rațional, deci raportul lor, a/b, e irațional, contradicție. Deci, în orice caz, găsim x real astfel ca f(x)=y.
Re: Functie injectiva sau surjectiva
Nu am inteles 2 chestii
Cum se face demonstratia ca daca a/b e rațional => f injectiva?
Si de ce la partea cu surjectivitatea , daca y/a e rațional si y/b e irational raportul a/b e rațional si in cazul cu y/a irational si y/b rational nu mai e asa?
Cum se face demonstratia ca daca a/b e rațional => f injectiva?
Si de ce la partea cu surjectivitatea , daca y/a e rațional si y/b e irational raportul a/b e rațional si in cazul cu y/a irational si y/b rational nu mai e asa?
-
- profesor
- Mesaje: 1532
- Membru din: 21 Oct 2014, 11:31
Re: Functie injectiva sau surjectiva
E o glumă, sau ce?
"Reciproc, dacă a/b e rațional, f e injectivă. Într-adevăr, să alegem x,y astfel ca f(x)=f(y). Dacă x,y au aceeași natură (ambele raționale sau ambele iraționale) obținem imediat x=y. Dacă, de pildă, x e rațional și y irațional, obținem ax=by, de unde a/b=y/x. Dar y/x e irațional, contradicție."
Mai citiți o dată.Si de ce la partea cu surjectivitatea , daca y/a e rațional si y/b e irational raportul a/b e rațional si in cazul cu y/a irational si y/b rational nu mai e asa?
Re: Functie injectiva sau surjectiva
Greșeala ta, quaintej, constă în strecurarea în textul tău a acelui și, care la gigelmarga nu există.
Dacă plecăm de la propoziția "există y real a. î. y/a irațional și y/b rațional", care este evident falsă, ajungem la
concluzia că negația ei este adevărată.
Ori, negația ei este: "oricare ar fi y real, y/a este rațional sau y/b este irațional"; mai mult, acel sau
este unul disjunctiv, căci, asa cum singur ai băgat de seamă, nici aceste doua afirmații nu pot fi simultan adevărate.
Așadar, în ipoteza a/b rațional, pentru orice y real, ecuația f(x)=y are o singură soluție reală, y/a în prima situație,
y/b în cea de a doua, ceeace demonstrează și bijectivitatea funcției, nu doar surjectivitatea ei.
Re: Functie injectiva sau surjectiva
Oh, am inteles acum ambele chestiuni. Ma scuzati ca am pus intrebari stupide, ma mai incurc prosteste. Multumesc pentru idei si timpul acordat!