Functie injectiva sau surjectiva

Radicali. Functia exponentiala si functia logaritmica. Functii trigonometrice si inverse. Numere complexe. Metode de numarare (permutari, aranjamente, combinari, Binomul lui Newton). Matematici financiare. Geometrie: ecuatiile dreptei.
quaintej
utilizator
utilizator
Mesaje: 59
Membru din: 29 Noi 2015, 12:32

Functie injectiva sau surjectiva

Mesaj de quaintej » 05 Oct 2017, 16:57

Sa se determine perechile (a,b) reale pentru care f:R->R ,
f(x)= { a*x, x sau b*x, x
are una dintre proprietatile:
1) este injectiva
2) este surjectiva
Eu am incercat sa gasesc prima data a,b pentru care e injectiva, si am pus in loc de x pe a/b
=> f(a/b)=a. dar f(1)=a => a/b=1 deci a=b sau a/b este rational. Cum as putea continua?
Multumesc anticipat.

quaintej
utilizator
utilizator
Mesaje: 59
Membru din: 29 Noi 2015, 12:32

Re: Functie injectiva sau surjectiva

Mesaj de quaintej » 12 Oct 2017, 20:14

Am incalcat vreo regula a forumului sau am scris ceva gresit in enunt?

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1352
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Functie injectiva sau surjectiva

Mesaj de gigelmarga » 12 Oct 2017, 20:42

Conditia a/b rațional este condiția necesară și suficientă și pentru injectivitate, și pentru surjectivitate.

Astfel, dacă f e injectivă, obținem a/b rațional, ca în postarea de mai sus.

Reciproc, dacă a/b e rațional, f e injectivă. Într-adevăr, să alegem x,y astfle ca f(x)=f(y). Dacă x,y au aceeași natură (ambele raționale sau ambele iraționale) obținem imediat x=y. Dacă, de pildă, x e rațional și y irațional, obținem ax=by, de unde a/b=y/x. Dar y/x e irațional, contradicție.

Dacă f e surjectivă, există x astfel ca f(x)=b. Dacă x e irațional, avem f(x)=bx=b, deci x=1, absurd. Deci x e rațional, de unde f(x)=ax=b și, evident, asta conduce la a/b rațional.

Reciproc, dacă a/b e rațional, f e surjectivă. Într-adevăr, fie y real arbitrar. Dacă y/a e rațional, f(y/a)=a*y/a=y. Dacă y/b este irațional, atunci f(y/b)=y. În caz contrar, y/a e irațional și y/b e rațional, deci raportul lor, a/b, e irațional, contradicție. Deci, în orice caz, găsim x real astfel ca f(x)=y.

quaintej
utilizator
utilizator
Mesaje: 59
Membru din: 29 Noi 2015, 12:32

Re: Functie injectiva sau surjectiva

Mesaj de quaintej » 14 Oct 2017, 15:14

Nu am inteles 2 chestii
Cum se face demonstratia ca daca a/b e rațional => f injectiva?
Si de ce la partea cu surjectivitatea , daca y/a e rațional si y/b e irational raportul a/b e rațional si in cazul cu y/a irational si y/b rational nu mai e asa?

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1352
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Functie injectiva sau surjectiva

Mesaj de gigelmarga » 14 Oct 2017, 20:21

quaintej scrie:
14 Oct 2017, 15:14
Nu am inteles 2 chestii
Cum se face demonstratia ca daca a/b e rațional => f injectiva?
E o glumă, sau ce?
"Reciproc, dacă a/b e rațional, f e injectivă. Într-adevăr, să alegem x,y astfel ca f(x)=f(y). Dacă x,y au aceeași natură (ambele raționale sau ambele iraționale) obținem imediat x=y. Dacă, de pildă, x e rațional și y irațional, obținem ax=by, de unde a/b=y/x. Dar y/x e irațional, contradicție."
Si de ce la partea cu surjectivitatea , daca y/a e rațional si y/b e irational raportul a/b e rațional si in cazul cu y/a irational si y/b rational nu mai e asa?
Mai citiți o dată.

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1284
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Functie injectiva sau surjectiva

Mesaj de ghioknt » 14 Oct 2017, 22:51

quaintej scrie:
14 Oct 2017, 15:14
in cazul cu y/a irational si y/b rational nu mai e asa?
Greșeala ta, quaintej, constă în strecurarea în textul tău a acelui și, care la gigelmarga nu există.
Dacă plecăm de la propoziția "există y real a. î. y/a irațional și y/b rațional", care este evident falsă, ajungem la
concluzia că negația ei este adevărată.
Ori, negația ei este: "oricare ar fi y real, y/a este rațional sau y/b este irațional"; mai mult, acel sau
este unul disjunctiv, căci, asa cum singur ai băgat de seamă, nici aceste doua afirmații nu pot fi simultan adevărate.

Așadar, în ipoteza a/b rațional, pentru orice y real, ecuația f(x)=y are o singură soluție reală, y/a în prima situație,
y/b în cea de a doua, ceeace demonstrează și bijectivitatea funcției, nu doar surjectivitatea ei.

quaintej
utilizator
utilizator
Mesaje: 59
Membru din: 29 Noi 2015, 12:32

Re: Functie injectiva sau surjectiva

Mesaj de quaintej » 15 Oct 2017, 15:47

Oh, am inteles acum ambele chestiuni. Ma scuzati ca am pus intrebari stupide, ma mai incurc prosteste. Multumesc pentru idei si timpul acordat!

Scrie răspuns