Functie periodica

[quaintej]

Buna ziua! Am o nelamurire legata de o problema,si sper ca ma poate ajuta cineva.
Fie f : R->R neinjectiva, pentru care exista functiile g : R->R injectiva si h : R x R->R astfel incat f( g(x+y))=h(f(x),y), pentru orice x,y reale. Demonstrati ca f este periodica.
Vreo sugestie?
Multumesc anticipat.

[gigelmarga]

Problema e o adaptare după o problemă a profesorului Bătinețu (în care g(x)=x). Care e sursa?

[gigelmarga]

[quaintej]

Am primit-o ca tema de la un profesor,nu tin minte sa fi specificat de unde a luat-o..

[gigelmarga]

Așa formulată, problema e, probabil, greșită. Condiția ar fi trebuit să fie g(f(x+y))=h(f(x),y).

[ghioknt]

Ai găsit o soluție? Dacă nu, iată o idee pentru problema originală, a lui D. M. Bătinețu, în care scriu tot h, în loc de g.
Fie a și a+t (t>0) două numere pentru care f(a)=f(a+t) (f nu este injectivă!). Pentru orice x real:
f(x)=f(a+(x-a))=h(f(a), x-a)=h(f(a+t), x-a))=f((a+t)+(x-a))=f(x+t).

Pentru generalizare, în formularea lui gigelmarga, același raționament conduce la g(f(x))=g(f(x+t)), și cum
g este injectivă ...

[quaintej]

Cum g-injectiva, inseamna ca obligatoriu f(x) = f( x+t ), deci f este periodica. E bine?