Geometrie : echilateral

ilusion199 · Mesaj de **ilusion199** » 05 Mai 2017, 18:23

Problema: http://fmi.unibuc.ro/ro/pdf/2015/admite ... e_2015.pdf

BC si MN le-am aflat, am probleme la subpunctul b).

Mesaj de **ghioknt** » 06 Mai 2017, 15:21

b) O cale ar fi să observi că AF=MN/2 (dacă A=mijl.[CP], atunci AF=PB/2=MN/2, căci PB=MN din triunghiuri congruente).
Apoi dacă [FQ] si [FR] sunt liniile mijlocii ale trapezelor dreptunghice BDAC, respectiv CEAB, atunci dreptele FQ si FR sunt mediatoarele
segmentelor [AD], [AE], deci DF=AF=EF. Cum si DE=MN/2 - linie mijlocie - deducem că cele 3 laturi au lungimea MN/2.
Sau: în patrulaterul ANCB avem relatia, general valabilă, $\vec{DF}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{NC}),\;DF^2=\frac{1}{4}(AB^2+NC^2+2\vec{AB}\cdot \vec{NC}).$
Pentru produsul scalar e suficient să observi că unghiul dintre directiile celor 2 vectori este 30gr. Cu totul analog se calculează DF din
patrulaterul AMBC.
c) $\vec{AB}\cdot \vec{AM}=1\cdot 1\cdot \cos 60^o=\frac{1}{2};\;\vec{AB}\cdot \vec{AN}=0;\;\vec{AC}\cdot \vec{AM}=0;\;\vec{AC}\cdot \vec{AN}=2\cdot 2\cdot \cos 60^o=2.$
sunt evidente. $\vec{MN}\cdot \vec{AM}=(x\vec{AB}+y\vec{AC})\cdot \vec{AM}=\frac{x}{2}\Rightarrow x=2\vec{MN}\cdot \vec{AM}.$
$\vec{MN}\cdot \vec{AN}=(x\vec{AB}+y\vec{AC})\cdot \vec{AN}=2y\Rightarrow y=\frac{1}{2}\vec{MN}\cdot \vec{AN}.$
Pentru calculul celor 2 produse scalare poti folosi următorul rezultat:
În tr. ABC: $\vec{AB}\cdot \vec{AC}=\frac{1}{2}(AB^2+AC^2-BC^2).$
$x=2\vec{MN}\cdot \vec{AM}=-2\vec{MN}\cdot \vec{MA}=-(MN^2+MA^2-AN^2)=-(5+2\sqrt{3}+1-4)=-2-2\sqrt{3}.$
$y=\frac{1}{2}\vec{MN}\cdot \vec{AN}=\frac{1}{2}\vec{NM}\cdot \vec{NA}=\frac{1}{2}(MN^2+AN^2-AM^2)=2+\frac{\sqrt{3}}{2}.$

ilusion199 · Mesaj de **ilusion199** » 06 Mai 2017, 18:33

Imi poti arata o imagine cu desenul facut de tine? Cred ca ai schimbat putin notatiile. De ex F cu E.

Mesaj de **ghioknt** » 06 Mai 2017, 20:26

D=mijl.[AM], E=mijl.[AN], deci [DE] este linie mijlocie în tr. AMN; de aceea am scris că DE=MN/2. A mai ramas F=mijl.[BC].
Trebuie să spui concret, care dintre afirmatiile mele necesită explicatii suplimentare. Ia-le pe rând, si le lămurim.

ilusion199 · Mesaj de **ilusion199** » 06 Mai 2017, 22:30

Nu inteleg: PB=MN din triunghiuri congruente. Care triunghiuri?

Mesaj de **ghioknt** » 07 Mai 2017, 00:05

BAP si MAN sunt congruente (LUL): au AB=AM=1, AP=AN=2 si unghiurile BAP si MAN de câte 60+90=150gr.

ilusion199 · Mesaj de **ilusion199** » 07 Mai 2017, 12:27

ghioknt scrie:BAP si MAN sunt congruente (LUL): au AB=AM=1, AP=AN=2 si unghiurile BAP si MAN de câte 60+90=150gr.

Am inteles. Dar aici?
"atunci dreptele PQ si PR sunt mediatoarele
segmentelor [AD], [AE], deci DF=AF=EF."
De ce rezulta direct egalitatea?

Mesaj de **ghioknt** » 07 Mai 2017, 12:58

Aoleu! Aici am gresit. Am vrut să scriu despre FQ si FR. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de
capetele segmentului. FQ este mediatoare pentru [AD] deci FA=FD etc. Corectez îndată.

ilusion199 · Mesaj de **ilusion199** » 07 Mai 2017, 20:00

ghioknt scrie:FQ este mediatoare pentru [AD] deci FA=FD etc. Corectez îndată.

inseamna ca FQ e si inaltime ca acel triunghi sa fie isoscel. Cred ca asta trebuie sa demonstrez inainte de FA = FD. Nu?

Mesaj de **ghioknt** » 07 Mai 2017, 22:25

Spun că BDAC este trapez dreptunghic pentru că atât [BD], cât si [CA], sunt perpendiculare pe [AD], deci [BD] si [CA] sunt bazele
trapezului. Cand spun că [FQ] este linie mijlocie în trapez, spun că am unit mijlocul F al laturii [BC] cu mijlocul laturii [AD], pentru care
am propus notatia Q. Dar linia mijlocie este paralelă cu bazele trapezului, deci si FQ este perp. pe [AD] exact în mijlocul ei, adică este mediatoare.
A spune că punctul F de pe mediatoarea lui [AD] este egal depărtat de capetele A si D este acelasi lucru cu a spune că triunghiul FAD este isoscel.

ilusion199 · Mesaj de **ilusion199** » 07 Mai 2017, 22:49

Am inteles. Multumesc pentru ajutor.

Forum AniDeȘcoală.ro

Geometrie : echilateral

Geometrie : echilateral

Triunghi echilateral; descompunerea unui vector.