Forum AniDeȘcoală.ro

Lizu12 · Mesaj de **Lizu12** » 06 Mar 2017, 21:30

Se considera functiile $f,F:(0,\infty)->\mathbb{R},f(x)=\frac{1}{x^b}$ si $F(x)=\frac{1}{1-b}x^{1-b}, b>1,b\in\mathbb{R}$ . Pentru $n\in\mathbb{N}, n\geq1$ , definim sirul $a_n=f(1)+f(2)+...+f(n).$
Sa se demonstreze ca $a_n<\frac{b}{b-1}$

Mesaj de **gigelmarga** » 06 Mar 2017, 22:27

Lizu12 scrie:Se considera functiile $f,F:(0,\infty)->\mathbb{R},f(x)=\frac{1}{x^b}$ si $F(x)=\frac{1}{1-b}x^{1-b}, b>1,b\in\mathbb{R}$ . Pentru $n\in\mathbb{N}, n\geq1$ , definim sirul $a_n=f(1)+f(2)+...+f(n).$
Sa se demonstreze ca $a_n<\frac{b}{b-1}$

Indicatie. Se aplică teorema cresterilor finite functiei F, pe intervale de tipul [k,k+1], k natural.
Folosind si monotonia lui f (care e derivata lui F) deducem o inegalitate de forma f(k+1)<F(k+1)-F(k).

Lizu12 · Mesaj de **Lizu12** » 07 Mar 2017, 12:29

$\frac{1}{(k+1)^b}<F(k+1)-F(k)$
Pt. $k=1=>\frac{1}{2^b}<F(2)-F(1)$
$k=2=>\frac{1}{3^b}<F(3)-F(2)$
.
.
.
$k=n=>\frac{1}{(n+1)^b}<F(n+1)-F(n)$
Si ajung la:
$a_n+\frac{1}{(n+1)^b}-\frac{1}{1^b}<\frac{(n+1)^{1-b}}{1-b}-\frac{1}{1-b}$
$a_n<\frac{n+b}{(1-b)(n+1)^b}+\frac{b}{b-1}$

Aici ar fi trebuit sa ajung?

Forum AniDeȘcoală.ro

Sir

Sir

Re: Sir