Limite de functii (dificile)

thambor · Mesaj de **thambor** » 04 Noi 2016, 15:39

Am doua probleme de matematica legata de limite:
-limita cand x tinde catre 0 din (tg(tg(x))-tg(x))/(x^3)
-limita cand n tinde la infinit din (3+radical(3)+rad de ordin 3 ( 3)+...+rad de ordin n din (3) -n)/ln(n^n+1)

As dori va rog o rezolvare.Nu stiu inca regula lui l'Hopitail,dar daca aceasta problema nu se poate face decat cu aceasta,macar spuneti-mi.De asemenea spuneti-mi daca credeti ca prin l'hopital ar iesi mai usor.

Mesaj de **ghioknt** » 04 Noi 2016, 23:05

Cel mai bine mi se pare să combini limitele remarcabile cu regula lui l'Hopital, în genul:
$\lim_{x\to 0}\frac{tg(tg x)-tg x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{tg^3 x}{x^3}\cdot \frac{tg(tg x)-tg x}{tg^3 x}=1\cdot \lim_{t\to 0}\frac{tg t-t}{t^3}=$
iar aici durează 3secunde ca să obţii rezultatul cu regula ...
$=\lim_{x\to 0}\frac{1+tg^2 t-1}{3t^2}=\frac{1}{3}.$

La al doilea exerciţiu, ai încercat cu Stolz?

Mesaj de **ghioknt** » 05 Noi 2016, 19:00

Pentru a aplica lema lui Stolz este suficient ca numitorul să fie un şir strict crescător si nemarginit. Pentru că vreau să evit o scriere
complicată, prefer să aplic binecunoscuta consecinţă: dacă un şir (x_n) are limită, atunci şirul $\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$
are aceeaşi limită, pentru şirul $x_1=3-1,\;x_n=\sqrt[n]{3}-1\;pt.\;n\geq 2$ care are limita 0; atunci şi
$\frac{3-1+\sqrt{3}-1+...+\sqrt[n]{3}-1}{n}$ are tot limita 0.
$0<a_n<\frac{3+\sqrt{3}+...+\sqrt[n]{3}-n}{\ln n^n}=\frac{3-1+\sqrt{3}-1+...+\sqrt[n]{3}-1}{n}\cdot \frac{1}{\ln n}\to 0.$

thambor · Mesaj de **thambor** » 06 Noi 2016, 10:27

Ok am inteles sus dar jos ce s.a intamplat cu ln (n^2+1)?

thambor · Mesaj de **thambor** » 06 Noi 2016, 10:30

Nu conteaza nu am vazut ca a de n e in fata

thambor · Mesaj de **thambor** » 06 Noi 2016, 10:52

sdica cum e ln (n^n) mai mic ca ln (n^2+1)

Mesaj de **ghioknt** » 06 Noi 2016, 19:34

thambor scrie:Am doua probleme de matematica legata de limite:
-limita cand x tinde catre 0 din (tg(tg(x))-tg(x))/(x^3)
-limita cand n tinde la infinit din (3+radical(3)+rad de ordin 3 ( 3)+...+rad de ordin n din (3) -n)/ln(n^n+1)

As dori va rog o rezolvare.Nu stiu inca regula lui l'Hopitail,dar daca aceasta problema nu se poate face decat cu aceasta,macar spuneti-mi.De asemenea spuneti-mi daca credeti ca prin l'hopital ar iesi mai usor.

Iată, în exerciţiul postat de tine, ai scris ln(n^n+1), iar acum vorbeşti despre ln(n^2+1). Numărătorul şi numitorul sunt în această
situaţie două şiruri "dezechilibrate", ceeace mi-a permis acea soluţie fantezistă. Dacă numitorul este ln(n^2+1), atunci exerciţiul
devine mai consistent, pentru că cele 2 şiruri par să tindă la fel de repede către infinit.
$a_{n+1}-a_n=3+...+\sqrt[n]{3}+\sqrt[n+1]{3}-n-1-(3+...+\sqrt[n]{3}-n)=\sqrt[n+1]{3}-1.\\b_{n+1}-b_n=\ln ((n+1)^2+1)-\ln (n^2+1)=\ln \frac{n^2+2n+2}{n^2+1}=\ln \left ( 1+\frac{2n+1}{n^2+1} \right )\\\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{3^{\frac{1}{n+1}}-1}{\frac{1}{n+1}}\cdot \frac{\frac{2n+1}{n^2+1}}{\ln \left ( 1+\frac{2n+1}{n^2+1} \right )}\cdot \frac{n^2+1}{(2n+1)(n+1)}\to (\ln 3)\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=\ln \sqrt{3}.$

Forum AniDeȘcoală.ro

Limite de functii (dificile)

Limite de functii (dificile)

Limite dificile

Aplicatie la lema lui Stolz

Re: Limite de functii (dificile)