Siruri recurente

Shay · Mesaj de **Shay** » 19 Oct 2016, 22:42

Alfati termenul general, apoi studiati monotonia si marginirea sirurilor $(a_{n})_{n >= 1} si (b_{n})_{n >= 1} a_{1} = 5, b_{1} = 1; a_{n+1} = 5a_{n} - 2b_{n} , b_{n+1} = a_{n} + 2b{n}, \forall n >= 1$ Ma intereseaza doar termenul general.

MaTe1997 · Mesaj de **MaTe1997** » 22 Oct 2016, 00:06

Le aduni si obtii $a_{n+1}+b_{n+1}=6a_{n} (1)$
In continuare scoti $b_{n+1}=6a_{n}-a_{n+1} (2)$
Scoti pe $b_{n}$
din nou din prima ecuatie in functie de $a_{n+1} si a_{n}$

Dupa care pur si simplu inlocuiesti in relatia 2 ,cu precizarea ca dupa ce ai scos $b_{n}$
poti scrie imediat $b_{n+1}.$

obtii in final $a_{n+2}=7a_{n+1}-12a_{n}$
,adica o recurenta liniara de ordin 2 pe care banuiesc ca stii sa o rezolvi.Succes!

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 22 Oct 2016, 09:21

Shay scrie:Alfati termenul general, apoi studiati monotonia si marginirea sirurilor $(a_{n})_{n >= 1} si (b_{n})_{n >= 1} a_{1} = 5, b_{1} = 1; a_{n+1} = 5a_{n} - 2b_{n} , b_{n+1} = a_{n} + 2b{n}, \forall n >= 1$ Ma intereseaza doar termenul general.

Se observă că $a_{n+1}-b_{n+1}=4(a_n-b_n)$ si $a_{n+1}+b_{n+1}=6a_n$ .

Pentru $n=1$ rezultă $a_2-b_2=4(a_1-b_1)=4^2$

Pentru $n=2$ rezultă $a_3-b_3=4(a_2-b_2)=4^3$

--------------------------

Pentru $n+1$ rezultă $a_{n+1}-b_{n+1}=4^{n+1}$

Din $a_{n+1}+b_{n+1}=6a_n$ si $a_{n+1}- b_{n+1}=4^{n+1}$ rezultă $a_{n+1}-3a_n=2\cdot 4^n$

si deci cum din ecuatia caracteristică $\lambda -3=0$ rezultă

$\lambda =3$ obtinem:

$a_n=C_1\cdot 3^n+2\cdot 4^n$

$b_n=C_1\cdot 3^n+4^n$

Cum pentru $n=1$ rezultă $C_1=-1$ , atunci în final

obtinem:

$a_n=-3^n+2\cdot 4^n$

$b_n=-3^n+4^n$ .

Forum AniDeȘcoală.ro

Siruri recurente

Siruri recurente

Re: Siruri recurente