limita grea

cristinat · Mesaj de **cristinat** » 24 Mar 2016, 16:45

Sa se calculeze lim n->oo din (1+1/2^2+1/3^2+.....+1/n^2)

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 24 Mar 2016, 18:03

https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_pro ... tary_proof

cristinat · Mesaj de **cristinat** » 24 Mar 2016, 18:09

PhantomR scrie:https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_pro ... tary_proof

o demonstratie mai usoara de clasa a XI-a va rooog

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 24 Mar 2016, 18:35

Sunteti sigura ca cerinta era ca calculati acea limita si nu sa aratati ca sirul $x_n=1+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}$ e convergent? In orice caz, sunt destul de sigur ca acea demonstratie este la nivel de clasa a XI-a.

EDIT: Daca cititi acolo la inceputul demonstratiei, zice:
"This is by far the most elementary well-known proof; while most proofs use results from advanced mathematics, such as Fourier analysis, complex analysis, and multivariable calculus, the following does not even require single-variable calculus (although a single limit is taken at the end)."

cristinat · Mesaj de **cristinat** » 24 Mar 2016, 18:39

PhantomR scrie:Sunteti sigura ca cerinta era ca calculati acea limita si nu sa aratati ca sirul $x_n=1+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}$ e convergent? In orice caz, sunt destul de sigur ca acea demonstratie este la nivel de clasa a XI-a.

EDIT: Daca cititi acolo la inceputul demonstratiei, zice:
"This is by far the most elementary well-known proof; while most proofs use results from advanced mathematics, such as Fourier analysis, complex analysis, and multivariable calculus, the following does not even require single-variable calculus (although a single limit is taken at the end)."

ok, este de clasa a XI-a dar nu am inteles ce ne impinge spre ideea cu cotangenta? adica ce legatura au 1/2^2, 1/3^2 cu functiile trigonometrice? ce ne face sa ne gandim la asta spre a calcula limita?

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 24 Mar 2016, 18:50

In primul rand, ati vazut ca limita este $\frac{\pi^2}{6}$ , nu

?

Probabil ca ne-am putea gandi la serii (a se vedea metoda cu care a derivat Euler limita), insa nu ati studiat despre ele, daca nu ma insel.

Problema nu este una usoara si este, cred eu, un rezultat celebru in matematica.

Va intreb inca o data: sigur nu vi s-a cerut sa probati convergenta? Din cate se poate observa, nu este usor sa gasim valorea limitei, insa convergenta nu este greu e aratat.

cristinat · Mesaj de **cristinat** » 24 Mar 2016, 18:55

PhantomR scrie:In primul rand, ati vazut ca limita este $\frac{\pi^2}{6}$ , nu ?

Probabil ca ne-am putea gandi la serii (a se vedea metoda cu care a derivat Euler limita), insa nu ati studiat despre ele, daca nu ma insel.

Problema nu este una usoara si este, cred eu, un rezultat celebru in matematica.

Va intreb inca o data: sigur nu vi s-a cerut sa probati convergenta? Din cate se poate observa, nu este usor sa gasim valorea limitei, insa convergenta nu este greu e aratat.

mi s-a cerut sa calculez limita insa nu am inteles nimic din ce scrie acolo...puteti sa imi explicati putin va roog mult!

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 24 Mar 2016, 19:01

Hmm... totusi.. pare ca se folosesc relatiile lui Viete care nu se fac decat in a XII-a (pentru polinoame in general, nu cele pentru polinoame de grad 2). Unde v-ati blocat mai exact?

cristinat · Mesaj de **cristinat** » 24 Mar 2016, 19:03

PhantomR scrie:Hmm... totusi.. pare ca se folosesc relatiile lui Viete care nu se fac decat in a XII-a (pentru polinoame in general, nu cele pentru polinoame de grad 2). Unde v-ati blocat mai exact?

cand considera n=2m+1. de ce a facut aceasta notatie? si apoi xr = pix supra (2m+1)

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 24 Mar 2016, 19:08

Identitatea obtinuta este valabila pentru orice numar natural $n$ . Se considera mai departe un numar natural $m$ (fixat) si punem $n=2m+1$ . Consieram apoi numerele $x_r= \frac{r\pi}{2m+1},r=\overline{1,m}$ . Un argument pentru alegere e ca atunci $nx_r = (2m+1)x_r = r\pi$ , deci $\sin(nx_r)=0,\forall r$ si atunci membrul stang al identitatii se anuleaza pentru acesti $x_r$ , ceea ce ne permite sa deducem ca numerele $\rm{ctg}x_r$ sunt radacini ale polinomului mentionat acolo. Observand ca numerele $x_r$ sunt distincte si ca polinomul nostru are grad $m$ , inseamna ca polinomul are exact (nu mai sunt altele) aceste radacini si putem aplica relatiile lui Viete.

Mai departe in demonstratie, o sa dati probabil de $\csc$ . Aceasta e $\frac{1}{\sin}$ .

cristinat · Mesaj de **cristinat** » 24 Mar 2016, 19:17

PhantomR scrie:Identitatea obtinuta este valabila pentru orice numar natural $n$ . Se considera mai departe un numar natural $m$ (fixat) si punem $n=2m+1$ . Consieram apoi numerele $x_r= \frac{r\pi}{2m+1},r=\overline{1,m}$ . Un argument pentru alegere e ca atunci $nx_r = (2m+1)x_r = r\pi$ , deci $\sin(nx_r)=0,\forall r$ si atunci membrul stang al identitatii se anuleaza pentru acesti $x_r$ , ceea ce ne permite sa deducem ca numerele $\rm{ctg}x_r$ sunt radacini ale polinomului mentionat acolo. Observand ca numerele $x_r$ sunt distincte si ca polinomul nostru are grad $m$ , inseamna ca polinomul are exact (nu mai sunt altele) aceste radacini si putem aplica relatiile lui Viete.

multumesc mult!!!!!

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 24 Mar 2016, 19:22

Cu drag. V-am scris mai sus si despre $\rm{csc}$ .

cristinat · Mesaj de **cristinat** » 24 Mar 2016, 19:24

PhantomR scrie:Cu drag. V-am scris mai sus si despre $\rm{csc}$ .

ideea de baza era sa cuprindem suma aia intre doua siruri, nu?

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 24 Mar 2016, 19:34

Da, asa pare

. Intre doua siruri cu aceeasi limita pt a putea folosi criteriul clestelui.