lim cand x->0 din (1-cos(x)*(cos(2x)^2)*...(cos(nx)^n)/x^2).
Am incercat dar nu mi-a iesit.
limita grea
Limita recurenta
Mai întâi, cred că ai scris greşit: exponenţii trebuie să fie pentru cosinusuri, nu pentru argumentele acestora. Adică
Voi nota această limită cu
şi voi căuta să obţin o relaţie de recurenţă.
x}{x^2}=\\=l_n+\lim_{x\to 0}\cos x\cdot ...\cdot \cos^nnx\cdot \frac{1-\cos^{n+1}(n+1)x}{x^2}=\\=l_n+1\cdot \lim_{x\to 0}\frac{(n+1)\cos^n x\cdot \sin(n+1)x}{2x(n+1)}\cdot (n+1)=l_n+\frac{(n+1)^2}{2}.)
Plecând de la
şi adunând primele n-1 relaţii oferite de relaţia de recurenţâ, se obţine
(2n+1)}{12}.)
Voi nota această limită cu
Plecând de la