In trapezul ABCD confectionat din carton,fie P si Q mijloacele bazelor AB si respectiv CD.Indoim trapezul de-a lungul dreptei PQ,astfel ca APQD si BPQC sa devina necoplanare.Demonstreaza ca,dupa indoire,dreptele AD si BC raman coplanare.
Aici eu nu am nevoie de confectionarea trapezului,ci de desen inainte si dupa indoirea trapezului.
Presupunem ca AB e baza mare.
Prelungeste PQ pana intersecteaza AD in M si BC in N. Daca aratam ca M coincide cu N, q.e.d.
Triunghiul MAP asemenea cu MDQ => MQ/MP = DQ/AP (1)
Triunghiul NBP asemenea cu NCQ => NQ/NP = CQ/BP (2)
Din (1), (2) si CQ=DQ, BP=AP => MQ/MP = NQ/NP
MQ/(MP-MQ) = NQ/(NP-NQ) <=> MQ/PQ = NQ/PQ <=> MQ = NQ
Deci M coincide cu N, adica AD si BC concurente, deci si coplanare.
P.S. Ca o observatie, ramane sa justifici de ce nici P, nici Q nu separa M si N (adica nu putem avea decat una dintre ordinile P, Q, M, N sau M, N, P, Q)