Am nevoie de putin ajutor la o problema de algebra si geometrie. Am incercat de cateva ori si tot nu reusesc sa rezolv:
Fie x= cos(pi/9).
Stiind ca cx^2+ bx+ a= 0 si a,b,c apartin lui Q , sa se arate ca a=b=c=0.
Multumesc mult pentru răbdare.
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Folosind formula unghiului triplu pentru cosinus, aflăm despre x că 4x^3-3x= cos(3pi/9), adică x este radacină reală a ecuaţiei
8x^3-6x-1=0. E uşor de arătat că această ecuaţie nu are rădăcini raţionale, deci numărul nostru, x=cos(pi/3), este iraţional.
Relaţia dată o scriu cx^2+bx+a(8x^3-6x)=0, o simplific cu x şi o ordonez după puterile lui x: 8ax^2+cx+(b-6a)=0.
Elimin pe x^2 între cele două relaţii, cea dată şi cea obţinută, şi obţin: (8ab-c^2)x+8a^2-bc+6ac=0.
Presupun că 8ab-c^2 este nenul; dar atunci pot scoate pentru x o expresie raţionala, lucru imposibil. Presupunerea cade, deci
8ab-c^2=0 şi, implicit, 8a^2-bc+6ac=0. Elimin b între aceste ecuaţii şi obţin: c^3-48a^2c-64a^3=0.
Presupun că a este nenul, şi atunci împart cu a^3: (c/a)^3-48(c/a)-64=0, adică c/a este o rădăcină raţională a ecuaţiei
t^3-48t-64=0. Dar nici această ecuaţie nu poate avea rădăcini raţionale. Inseamnă că din nou presupunerea făcută este falsă,
deci a=0 etc.