Se dau cercurile C_1(O_1) si C_2(O_2),care sunt tangente interioare in punctul K.Cercul mic C_2(O_2) trece prin centrul O_1 a cercului mare C_1(O_1).Coarda MN a cercului mare C_1(O_1) este tangenta cercului mic in punctul C .Fie ca KM si KN intersecteaza cercul mic in A si B.Segmentele KC si AB se intersecteaza in L.
a)Demonstrati ca CN:CM=LB:LA;
b)Aflati MN,daca LB:LA=2:3 si raza cercului mic este egala cu (radical din 23).
u111user (0)
Va rog sa faceti un desen conf.problemei
Pe desen duceti segmentele;AO1 ,BO1 , KO1 sidreapta ‘’d’’, tangent in K la cele doua cercuri
a)Unghiul <dKA=arcKA/2=unghiul<KBA=unghiul<dKM=arcKM/2=unghiul<KN/M , de unde
rezulta ca;AB//MN si conf. teoremei lui Thales vom avea:LA/CM=KL/KC=LB/CN->LA/LB=CM/CN
Cum K este central de omotetie dintre cele doua cercuri si raportul razelor este de1/2rezulta ca
KA=AM, KB=BN si MN=2AB
b)Sa impartim pe MN in 5parti egale si MN/5=x/5->AB/5=x/10.Puterea punctului N fata de cercul mic
Vz fi; (2MN/5)^2=NB.NK=2NB^2 sau;NB=KB=√2.x/5.
.Puterea punctuluiM fata de cercul mic vafi;(3MN/5)^2=MA.MK=2MA^2→MA=KA=(3/(5√2).x.TRIUNHIURILE;KAO1 si KBO1 sunt dreptunghice deci vom avea;
4r^2-KA^2= AO1^2 si 4r^2-KB^2=BO1^2. Patrulaterul; KAO1B este inscris incercul micdeci putem sascriem relatia lui Ptolemeu;AB.KO1=KA.BO1+KB.AO1 sau;r=(√2/5).V(4r^2-(9/50).x^2)+(3/(5.√2)). .√(4r^2 -(4/50)x^2) De unde x=NM=19,17=3, 997.r