Fie triunghiul ABC cu D,E,F -picioarele bisectoarelor din A,B,C,respectiv.Mediatoarea segmentului AD intersectează BE si CF in punctele M,N.Demonstrati ca punctele A,I,M,N stau pe un cerc,unde I este centrul cercului înscris triunghiului ABC.
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Dacă P= mijl.[AD], atunci P este şi intersecţia diagonalelor [AI] şi [MN] ale patrulaterului. Este suficient să demonstrezi
PA*PI=PM*PN pentru a trage concluzia că patrulaterul este inscriptibil.
PIM este unghi exterior triunghiului ABI, deci măsura sa este A/2+B/2 sau pi/2-C/2; PM=PI*tg(PIM)=PI*ctg(C/2).
Analog, PN=PI*ctg(B/2).
Din teorema bisectoarei în triunghiul ABC:
Analog, în triunghiul ABD:
Sau aşa: fie M’ intersecţia dintre BI şi cercul ABD iar N’ intersecţia dintre CI şi cercul ACD. Atunci M’A=M’D şi N’A=N’D, deci M’N’ e mediatoarea lui AD, adică M’=M şi N’=N. De aici e destul de simplu: