Fie ABC un triunghi ascutitunghic.Punctul M este piciorul înăltimii din A si P apartine lui AM,dar diferit de ortocentrul lui ABC.Demonstrati ca picioarele perpendicularelor duse din M la AC,AB,BP,CP sunt conciclice.
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Fie (BC) un segment, M un punct al său diferit de mijloc, X un punct oarecare pe perpendiculara în M pe BC, B’, C’ proiecţiile lui
M pe XC, respectiv pe XB şi T intersecţia dreptelor B’C’ şi BC.
Analog,
Aplicăm teorema lui Menelaos:
Asta înseamnă că raportul TB/TC are o valoare constantă, care nu depinde de poziţia punctului X. Altfel spus, toate secantele de tip
B’C’, obţinute pentru diferite poziţii ale punctului X, trec printr-un punct fix T de pe BC.
Să observăm acum că patrulaterul XC’MB’ este înscris în cercul de diametru [XM], deci BC este tangenta în M la acest cerc.
Atunci (puterea punctului T faţă de cercul considerat).
În problema noastră A şi P sunt două poziţii ale lui X. Dacă notăm cu B’, C’ proiecţiile lui M pe AC, AB, cu B”, C” proiecţiile
lui M pe PC, PB, vom avea deci patrulaterul B’C’C”B” este inscriptibil.
Dacă P ar coicide cu H, cele 4 puncte ar fi coliniare.
Desigur, se poate demonstra si clasic, că 2 unghiuri opuse ale patrulaterului sunt suplementare.