Pagina 1 din 1
Siruri
Scris: 11 Iul 2019, 19:12
de grapefruit
x_0=y_0=1
x_(n+1)=x_n + y_n*sqrt(3)
y_(n+1)=y_n - x_n *sqrt (3)
x_2019 +y_2019=?
Re: Siruri
Scris: 12 Iul 2019, 15:26
de A_Cristian
Nu este o rezolvare, doar niste ganduri asternute pe forum, la cald, fara a avea rezolvarea completa.
Avand in vedere ca apare un
, primul gand zboara la functii trigonometrice. Mai mult, avem inmultire si adunare, pare ca solutia ne conduce spre formule de cos si sin. Mai avem de rezolvat problema cu coeficientii.
Hai sa vedem cum incepem. Tre sa exprimam
si
in functie de sin si cos.
Putem alege:
)
si
)
Atunci
\cdot\frac{1}{2}+\cos(\frac{\pi}{4})\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}))
. Ne-ar prinde foarte bine daca am reusi sa-l exprimam tot timpul pe x_n in functie de sin(a) si y_n in functie de cos(a).
\cdot\cos\frac{\pi}{3}+\cos(\frac{\pi}{4})\cdot\sin\frac{\pi}{3})=2\sqrt{2}(\sin(\frac{\pi}{2})\cdot\sin\frac{\pi}{6}+\cos(\frac{\pi}{2})\cdot\sin\frac{\pi}{3})=2\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}))
Absolut la fel se intampla cu
.
Forma generala pare sa fie
 \\ y_n=2^n\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{3}))
Re: Siruri
Scris: 13 Iul 2019, 00:54
de grapefruit
Foarte frumoasa rezolvarea
Re: Siruri
Scris: 22 Iul 2019, 21:55
de ghioknt
Relațiile de recurență se pot scrie și matriceal astfel:
=2A\left ( \frac{\pi }{3} \right )\left ( \begin{matrix} x_0\\y_0 \end{matrix}\right ),\;A(t)=\left ( \begin{matrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t \end{matrix} \right ))
.
=(2A\left ( \frac{\pi }{3} \right ))^n\left ( \begin{matrix} x_0\\y_0 \end{matrix}\right )=2^nA\left (\frac{n\pi}{3}\right )\left ( \begin{matrix} x_0\\y_0 \end{matrix}\right ))
.
Obținem
, iar pentru n=2019:
Re: Siruri
Scris: 22 Iul 2019, 22:02
de grapefruit
Cum ati obtinut matricea x_n si y_n?
Re: Siruri
Scris: 24 Iul 2019, 11:40
de ghioknt
Egalitatea
=(2A\left ( \frac{\pi }{3} \right ))^n\left ( \begin{matrix} x_0\\y_0 \end{matrix}\right ))
se obține prin același raționament formal prin care, la progresii geometrice, din
se obține
Mai departe, se știe că
\cdot A(u)=A(t+u))
, deci
)^n=A(nt).)