Siruri

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 11 Iul 2019, 19:12

x_0=y_0=1
x_(n+1)=x_n + y_n*sqrt(3)
y_(n+1)=y_n - x_n *sqrt (3)

x_2019 +y_2019=?

A_Cristian · Mesaj de **A_Cristian** » 12 Iul 2019, 15:26

Nu este o rezolvare, doar niste ganduri asternute pe forum, la cald, fara a avea rezolvarea completa.
Avand in vedere ca apare un $\sqrt{3}$ , primul gand zboara la functii trigonometrice. Mai mult, avem inmultire si adunare, pare ca solutia ne conduce spre formule de cos si sin. Mai avem de rezolvat problema cu coeficientii.
Hai sa vedem cum incepem. Tre sa exprimam $x_0$ si $y_0$ in functie de sin si cos.

Putem alege: $x_0=\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4})$ si $y_0=\sqrt{4}\cos(\frac{\pi}{4})$
Atunci $x_1=2\sqrt{2}(\sin(\frac{\pi}{4})\cdot\frac{1}{2}+\cos(\frac{\pi}{4})\cdot\frac{\sqrt{3}}{2})$ . Ne-ar prinde foarte bine daca am reusi sa-l exprimam tot timpul pe x_n in functie de sin(a) si y_n in functie de cos(a).

$x_1=2\sqrt{2}(\sin(\frac{\pi}{4})\cdot\cos\frac{\pi}{3}+\cos(\frac{\pi}{4})\cdot\sin\frac{\pi}{3})=2\sqrt{2}(\sin(\frac{\pi}{2})\cdot\sin\frac{\pi}{6}+\cos(\frac{\pi}{2})\cdot\sin\frac{\pi}{3})=2\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3})$
Absolut la fel se intampla cu $y_1$ .
Forma generala pare sa fie
$x_n=2^n\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{3}) \\ y_n=2^n\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{3})$

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 13 Iul 2019, 00:54

Foarte frumoasa rezolvarea

Mesaj de **ghioknt** » 22 Iul 2019, 21:55

Relațiile de recurență se pot scrie și matriceal astfel:
$\left ( \begin{matrix} x_{n+1}\\y_{n+1} \end{matrix}\right )=2A\left ( \frac{\pi }{3} \right )\left ( \begin{matrix} x_0\\y_0 \end{matrix}\right ),\;A(t)=\left ( \begin{matrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t \end{matrix} \right )$ .
$\left ( \begin{matrix} x_n\\y_n \end{matrix}\right )=(2A\left ( \frac{\pi }{3} \right ))^n\left ( \begin{matrix} x_0\\y_0 \end{matrix}\right )=2^nA\left (\frac{n\pi}{3}\right )\left ( \begin{matrix} x_0\\y_0 \end{matrix}\right )$ .
Obținem $x_n+y_n=2^{n+1}\cos \frac{n\pi}{3}$ , iar pentru n=2019: $x_{2019}+y_{2019}=2^{2020}\cos 673\pi =-2^{2020}.$

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 22 Iul 2019, 22:02

Cum ati obtinut matricea x_n si y_n?

Mesaj de **ghioknt** » 24 Iul 2019, 11:40

Egalitatea $\left ( \begin{matrix} x_n\\y_n \end{matrix}\right )=(2A\left ( \frac{\pi }{3} \right ))^n\left ( \begin{matrix} x_0\\y_0 \end{matrix}\right )$
se obține prin același raționament formal prin care, la progresii geometrice, din $b_{n+1}=qb_n$ se obține $b_n=q^nb_0.$
Mai departe, se știe că $A(t)\cdot A(u)=A(t+u)$ , deci $(A(t))^n=A(nt).$

Forum AniDeȘcoală.ro

Siruri

Siruri

Re: Siruri

Re: Siruri

Re: Siruri

Re: Siruri

Re: Siruri