Solutii reale ecuatie

DragosP · Mesaj de **DragosP** » 19 Apr 2019, 22:27

S-a notat cu $A_{m}$ mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $x^8-2mx^4+16m^4=0$ .
$A_{m}$ are 4 elemente în progresie aritmetică dacă și numai dacă.....
A.m=9/82
B.m=9/51
C.m=3/28
D.m=9/164

Penguin200 · Mesaj de **Penguin200** » 20 Apr 2019, 14:43

A fost rezolvat aici:
viewtopic.php?f=32&t=38963&p=112657&hil ... ca#p112657

Mesaj de **ghioknt** » 20 Apr 2019, 22:42

Notând $x^4=z$ , deducem că z trebuie să verifice așa zisa ecuație rezolventă
$z^2-2mz+16m^4=0$ (1).
Dacă $z_1,\;z_2$ sunt rădăcinile acestei ecuații, atunci ecuația dată este achivalentă cu ansamblul de ecuații
$x^4=z_1\;sau\;x^4=z_2.$ O asemenea ecuație are rădăcini reale numai dacă, de exemplu, $z_1$ este număr real și pozitiv, caz în care ecuația corespunzătoare are doar 2 rădăcini reale, $\pm \sqrt[4]{z_1}$ ,
celelalte 2 fiind $\pm i\sqrt[4]{z_1}$ .
Conchidem că ecuația dată are 4 rădăcini reale dacă și numai dacă există m real pentru care ecuația (1) are 2 rădăcini reale pozitive, deci dacă sunt simultan îndeplinite : $\Delta >0,\;S>0, \;P>0\Leftrightarrow m\in (0;\frac{1}{4}).$
În ipoteza $z_1<z_2$ numerele $-\sqrt[4]{z_2},\;-\sqrt[4]{z_1},\;\sqrt[4]{z_1},\;\sqrt[4]{z_2}$ sunt în
progresie aritmetică atunci când $\sqrt[4]{z_2}=3\sqrt[4]{z_1}\Leftrightarrow z_2=81z_1.$
Împreuna cu $z_1+z_2=2m$ obținem $z_1=\frac{m}{41},\;z_2=\frac{81m}{41}$ cu care mergem în
$z_1z_2=16m^4$ ca să obținem $m^2=\frac{81}{16\cdot 41^2},\; m=\frac{9}{164}.$

Forum AniDeȘcoală.ro

Solutii reale ecuatie

Solutii reale ecuatie

Re: Solutii reale ecuatie

Re: Solutii reale ecuatie