limita din integrala admitere utcn 2016

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 13 Feb 2019, 08:52

Penguin200 scrie: ↑
10 Feb 2019, 22:32
$\lim_{n\rightarrow inf}n\int_{0}^{3}\frac{x^{n+1}}{x^{n}+1}$

Bună dimineața,

$\lim_{n\rightarrow \infty}n\int_{0}^{3}\frac{x^{n+1}}{x^{n}+1}=\infty$ deoarece $0\leq \frac{x^{n+1}}{x^n+1}<x$ pentru $0\leq x\leq 3$ și evident $\lim_{n\rightarrow \infty}\int_{0}^{3}\frac{x^{n+1}}{x^{n}+1}<\int_{0}^3 x dx=4,5$ .

Toate cele bune,

Integrator

Mesaj de **ghioknt** » 13 Feb 2019, 20:04

Limita oo rezultă din ineglitatea $\frac{x^{n+1}}{x^n+1}>x-1.$

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 13 Feb 2019, 21:12

Imi puteti spune exact cum s-a obtinut inegalitatea? ..(adica parcursul natural)

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 14 Feb 2019, 08:33

grapefruit scrie: ↑
13 Feb 2019, 21:12
Imi puteti spune exact cum s-a obtinut inegalitatea? ..(adica parcursul natural)

Bună dimineața,

Observația Domnului Profesor "ghioknt" că $\frac{x^{n+1}}{x^n+1}>x-1$ pentru $0\leq x\leq 3$ și $n\geq 1$ este evidentă și corectă , mai simplă și suficientă pentru a arăta că limita cerută este egală cu infinit si asta deoarece rezultă că integrala $\int_{0}^3 \frac{x^{n+1}}{x^n+1} dx > \int_{0}^3 (x-1) dx=\frac{3}{2}=1,5$ .
-------------------------------------------
Uneori "parcursul normal" poate fi și rezolvarea unei probleme cu ajutorul unor observații logice sau a unor artificii de calcul...Integrala $\int_{0}^3 \frac{x^{n+1}}{x^n+1} dx$ depinzând de parametrul natural oarecare $n$ este dificil de calculat și de aceea s-a făcut acea observație logică.

Toate cele bune,

Integrator

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 14 Feb 2019, 15:05

Intrebarea mea era de ce este evidenta..Eu de exemplu nu am observat o

Mesaj de **ghioknt** » 14 Feb 2019, 23:13

Așa cum ți-a explicat și dl. Integrator, pentru a folosi criteriul comparației pentru șiruri a trebuit să găsesc o funcție g ușor de integrat și a. î. $f_n(x)\geq g(x)\;\forall x\in [0;3]$ .
Întâi m-am gândit la câtul împărțirii polinomiale, care este x, numai că inegalitatea dintre funcția de integrat și aceasta este pe dos. A trebuit să aleg o funcție ceva mai mică și prima la care m-am gândit a fost g(x)=x-1.
$\frac{x^{n+1}}{x^n+1}\geq x-1\Leftrightarrow x^n+1\geq x$ care este adevărată pe [0; 1] pentru că, din două una:
ori $x\leq 1$ și atunci și $x^{n}+1>x,$
ori x>1 și atunci $x^n>x$ deci și $x^{n}+1>x.$
Dar puteam să aleg și g(x)=x/2 în loc de x-1.
$\frac{x^{n+1}}{x^n+1}\geq \frac{x}{2}\Rightarrow x^{n+1}\geq x$ care nu este adevărată pentru x<1, dar
$\int_{0}^{3}f_n(x)dx>\int_{1}^{3}f_n(x)dx>\int_{1}^{3}\frac{x}{2}dx=2$

Forum AniDeȘcoală.ro

limita din integrala admitere utcn 2016

limita din integrala admitere utcn 2016

Re: limita din integrala admitere utcn 2016

Re: limita din integrala admitere utcn 2016

Re: limita din integrala admitere utcn 2016

Re: limita din integrala admitere utcn 2016

Re: limita din integrala admitere utcn 2016

Re: limita din integrala admitere utcn 2016