utcn 405

Grupuri. Inele si corpuri. Polinoame. Primitive. Integrala definita. Aplicatii ale integralei definite.
FaN.Anduu
junior
junior
Mesaje: 195
Membru din: 06 Noi 2012, 22:49
Localitate: Suceava

utcn 405

Mesaj de FaN.Anduu » 04 Ian 2019, 00:31

Multimea valorilor lui x real pentru care este adevarata egalitatea
2arctgx + arcsin(2x/(1+x^2))=pi
Raspunsul e [1,infinit)

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1624
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: utcn 405

Mesaj de ghioknt » 05 Ian 2019, 15:34

Sunt posibile mai multe abordări, din fiecare având câte ceva de învățat. Iată una elementară.
Din condițiile de existență pentru arcsin, afli că domeniul maxim
de existență pentru expresia din membrul stâng este R, cu observația că egalitățile au loc în punctele -1, respectiv 1.
Scriind egalitatea așa: și ținând cont că arcsinusul ia valori
în intervalul , deducem că membrul drept ia valori în intervalul .

deci mulțimea cerută este inclusă în intervalul
Reciproc, pentru un x din acest interval, să observăm că ambii membri iau valori în intevalul ,
interval pe care funcția sinus este injectivă, deci dacă ,
atunci și
Ori

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1624
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: utcn 405

Mesaj de ghioknt » 05 Ian 2019, 16:13

Iată altă abordare elementară. Atunci când u parcurge intervalul , numărul x=tgu
parcurge R. Cu substituția x=tgu egalitatea devine

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1624
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: utcn 405

Mesaj de ghioknt » 05 Ian 2019, 16:40

Un elev cu 11 clase mai poate și să caute intervalele pe care funcția
are derivata nulă. Cu observația din prima postare deducem că f s-ar putea să nu fie derivabilă în -1 și în 1, adică punctele în care argumentul arcsinusului ia valorile -1 și 1. Pentru orice x din intervalele ;

Avem f'(x)=0 pe intervalele pe care adica .
Verificăm că , dar si , deci mulțimea cerută este .

FaN.Anduu
junior
junior
Mesaje: 195
Membru din: 06 Noi 2012, 22:49
Localitate: Suceava

Re: utcn 405

Mesaj de FaN.Anduu » 05 Ian 2019, 17:00

Va multumesc mult pentru raspunsuri!
Tocmai incepusem si eu o rezolvare cu u si am reusit sa fac ceva luandu-ma dupa alte modele de exercitii.Rezolvarea nu stiu daca e corecta dar am o nelamurire.
arcsin(sin2u) = 2u cand 2u apartine [-pi/2, pi/2] deci u apartine [-pi/4, pi/4] (formula am gasit-o intr-un document pe internet, asta fiind prima ramura
arcsin(sin2u) = pi-2u ( din ecuatia initiala ) pentru u apartine (pi/4, pi/2) (a doua ramura)
arcsin(sin2u) = -pi-2u ( prima nelamurire, de ce se ia pi si cu semn schimbat? ) pentru u apartine (-pi/2 , -pi/4) (a treia ramura)
Nelamuririle mele sunt legate de ultimele 2 ramuri, mai precis, de intervalele din care face parte u.
Am incercat sa-mi dau seama de ce e (-pi/2, -/pi4) cand arcsin(sin2u)=-pi-2u si de ce e (pi/4, pi/2) cand arcsin(sin2u) = pi-2u
Ma gandesc ca e ceva legat de cadrane si cercul trigonometric.
Am pornit de la ramura initiala (-pi/4, pi/4) sa vad daca pot ajunge la urmatoarele 2 intervale dar fara succes.
Primul interval l-am inteles (din prima ramura).
Imi place metoda pentru clasa a11a, dar vreau sa inteleg si metoda asta.
O poza cu incercarea mea de a rezolva exercitiul

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1624
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: utcn 405

Mesaj de ghioknt » 06 Ian 2019, 16:12

Prin definiție, mulțimea valorilor funcției arcsin este intervalul , prin urmare
egalitatea arcsin(sina)=a este adevărată dacă și numai dacă .
, deci 2u este în afara intervalului, este prea mic.
În schimb , deci egalitatea
este adevărată. Cum avem:

grapefruit
veteran
veteran
Mesaje: 1050
Membru din: 24 Iul 2013, 17:40

Re: utcn 405

Mesaj de grapefruit » 07 Ian 2019, 13:31

Eu nu am inteles finalizarea problemei prin metoda de clasa a 11a. De ce ati mai calculat si f(1) ?

De ce nu ati tras concluzia ca intervalul (-00,-1) reunit cu (1,00) este cel cautat ..?
Si de ce ati eliminat intervalul (-00,-1)



Later edit Totusi daca f este definita pe o reuniune de intervae,atunci f este constanta pe fiecare interval. Deci dupa pararea mea este necesar sa calculam si f(-rad(3)) pentru a trage aceasta concluzie.

Eu obtin ca functia nu este derivabila in 1 ,pentru ca avem 0 diferit de 2 ... este adevarat?

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1624
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: utcn 405

Mesaj de ghioknt » 07 Ian 2019, 22:42

grapefruit scrie:
07 Ian 2019, 13:31
Eu nu am inteles finalizarea problemei prin metoda de clasa a 11a. De ce ati mai calculat si f(1) ?

Later edit Totusi daca f este definita pe o reuniune de intervae,atunci f este constanta pe fiecare interval. Deci dupa pararea mea este necesar sa calculam si f(-rad(3)) pentru a trage aceasta concluzie.
Eu obtin ca functia nu este derivabila in 1 ,pentru ca avem 0 diferit de 2 ... este adevarat?
Nu este necesar (ci doar suficient) să calculez pentru că cineva cu spirit de observație vede ca f este impară, deci pe intervalul (-oo; -1) va lua valoarea -pi.
Derivata este nulă doar pe intervalul deschis (1, oo), nu și în 1, unde, ai observat singur, nu este derivabilă. Atunci fie calculezi pur și simplu f(1)=pi, fie, mai subtil, invoci continuitatea lui f, deci în 1 f va avea aceeași valoare ca valoarea constantă de pe intervalul (1, oo) (valoarea funcției și limita la dreapta în 1 trebuie să coincidă).

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj