1)Sa se descompuna in factori ireductibili polinoamele:
a)
M-ar ajuta foarte mult daca as sti ce valoare i-as putea da lui x.. Si e pe Q nu pe C.
2) Sa se determine polinoamele de grad 4 in Z2[X].
Aici ar trebuie sa pun f(1)=0 si f(O)= 0 dar mi-ar mai trebui cateva relatii, deoarece sunt 5 necunoscute..
ppuser (0)
La 1, mi-e cam neclara cerinta.. e cumva vorba de functii polinomiale? Daca da, pe e adevarata relatia , deci si si atunci functiile polinomiale au cel mult gradul , deci singurele posibile sunt .
La 2, .
Ultimele doua polinoame sunt ireductibile in (chiar ).
Pentru primul polinom, deoarece el nu are radacini reale (pentru ca notand obtinem o ecuatie fara radacini reale), nu poate avea factori ireductibili de gradul peste (deci nici peste ). Inseamna ca singura descompunere posibila e ca un produs de polinoame de gradul doi: . Avem . Deducem relatiile:
(din prima relatie)
si (din ultima)
(a treia)
(a doua)
Inlocuind primele doua relatii in a treia obtinem . Deducem sau sau .
Daca , din ultima relatie avem , imposibil pentru real.
Daca , ultima relatie devine , imposibil pentru rational.
Daca , ultima relatie devine , imposibil pentru real.
Asadar, polinomul este ireductibil, deci descompunerea ceruta e cea de la inceput.
Ai gresit putin la calcule si ai tras concluzia gresita la final. Daca b=1 atunci ajungi la relatia .
Insa trebuie avut in vedere altceva. Daca un polinom cu coeficienti reali admite o radacina complexa nereala, atunci automat admite si conjugata sa. De aici rezulta imediat un polinom de grad 2 cu coeficienti reali. Cu alte cuvinte, un polinom de grad n cu coeficienti reali se descompune tot timpul in produs de polinoame de grad 1 sau 2 cu coeficienti reali. Daca am forta coeficientii determinanti sa fie 1 tot timpul, atunci descompunerea este unica.
Bonus, daca tot ai folosit artificiul cu diferenta de patrate, ai fi putut sa-l folosesti si la . Avem