ecuatie
ecuatie
Sa se demonstreze ca ecuatia algebrica de gradul n : C de (2n+1) luate cate 1 ori x^n - C de (2n+1) luate cate 3 ori x^(n-1) + C de (2n+1) luate cate 5 ori x^(n-2) - ..... = 0 are solutiile xk = ctg^2 (kpi/2n+1), k ia valori de la 1 la n
Re: ecuatie
Să observăm mai întâi că ecuația nu poate avea soluții strict negative deoarece dacă n este par atunci toți termenii sunt pozitivi, iar dacă n este impar, atunci toți termenii sunt negativi. De fapt nici 0 nu poate fi soluție pentru că, dacă vom analiza mai în amănunt, vom găsi că ultimul termen este (-1)^n. Plecând de la dezvoltarea
^{2n+1}=x^n\sqrt{x}+C_{2n+1}^1x^ni+x^{n-1}\sqrt{x}i^2+C_{2n+1}^3x^{n-1}i^3+C_{2n-1}^4x^{n-2}\sqrt{x}i^4+\\+C_{2n-1}^5x^{n-2}i^5+...=(...)+i(C_{2n+1}^1x^n-C_{2n+1}^3x^{n-1}+C_{2n+1}^5x^{n-2}+...))
observăm că problema se poate formula: să se afle x>0 pentru care
.
Dar pentru orice x>0 există un t în intervalul (0; pi/2) a. î.
și atunci partea imaginară
a expresiei^{2n+1}=\left [ \frac{1}{\sin t}(\cos t+i\sin t) \right ]^{2n+1}=\frac{1}{\sin^{2n+1}t}(\cos(2n+1)t+i\sin(2n+1)t))
este nulă atunci cândt=0\Leftrightarrow (2n+1)t=k\pi \Leftrightarrow t=\frac{k\pi}{2n+1})
iar
,
deci k ia toate valorile de la 1 la n.
observăm că problema se poate formula: să se afle x>0 pentru care
Dar pentru orice x>0 există un t în intervalul (0; pi/2) a. î.
a expresiei
este nulă atunci când
iar
deci k ia toate valorile de la 1 la n.
-
- Subiecte similare
- Răspunsuri
- Vizualizări
- Ultimul mesaj
-
- 7 Răspunsuri
- 3390 Vizualizări
-
Ultimul mesaj de Integrator
26 Mar 2019, 09:22
-
- 1 Răspunsuri
- 5273 Vizualizări
-
Ultimul mesaj de FaN.Anduu
06 Mar 2019, 21:24
-
- 1 Răspunsuri
- 2199 Vizualizări
-
Ultimul mesaj de Integrator
21 Mar 2019, 08:14
-
- 2 Răspunsuri
- 927 Vizualizări
-
Ultimul mesaj de ghioknt
20 Apr 2019, 22:42
-
-
ecuatie de gradul 2, neclaritati (conditii pentru aflarea unui parametru)
de FaN.Anduu » 04 Mai 2019, 15:30 » în Clasa a XII - a - 2 Răspunsuri
- 3481 Vizualizări
-
Ultimul mesaj de FaN.Anduu
08 Mai 2019, 19:11
-