ecuatie

cristinat · Mesaj de **cristinat** » 08 Dec 2018, 14:27

Sa se demonstreze ca ecuatia algebrica de gradul n : C de (2n+1) luate cate 1 ori x^n - C de (2n+1) luate cate 3 ori x^(n-1) + C de (2n+1) luate cate 5 ori x^(n-2) - ..... = 0 are solutiile xk = ctg^2 (kpi/2n+1), k ia valori de la 1 la n

Mesaj de **ghioknt** » 08 Dec 2018, 22:43

Să observăm mai întâi că ecuația nu poate avea soluții strict negative deoarece dacă n este par atunci toți termenii sunt pozitivi, iar dacă n este impar, atunci toți termenii sunt negativi. De fapt nici 0 nu poate fi soluție pentru că, dacă vom analiza mai în amănunt, vom găsi că ultimul termen este (-1)^n. Plecând de la dezvoltarea
$(\sqrt{x}+i)^{2n+1}=x^n\sqrt{x}+C_{2n+1}^1x^ni+x^{n-1}\sqrt{x}i^2+C_{2n+1}^3x^{n-1}i^3+C_{2n-1}^4x^{n-2}\sqrt{x}i^4+\\+C_{2n-1}^5x^{n-2}i^5+...=(...)+i(C_{2n+1}^1x^n-C_{2n+1}^3x^{n-1}+C_{2n+1}^5x^{n-2}+...)$
observăm că problema se poate formula: să se afle x>0 pentru care $Im((\sqrt{x}+i)^{2n+1})=0$ .
Dar pentru orice x>0 există un t în intervalul (0; pi/2) a. î. $\sqrt{x}=ctgt$ și atunci partea imaginară
a expresiei $(ctgt+i)^{2n+1}=\left [ \frac{1}{\sin t}(\cos t+i\sin t) \right ]^{2n+1}=\frac{1}{\sin^{2n+1}t}(\cos(2n+1)t+i\sin(2n+1)t)$
este nulă atunci când $\sin(2n+1)t=0\Leftrightarrow (2n+1)t=k\pi \Leftrightarrow t=\frac{k\pi}{2n+1}$
iar $0<t<\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow 0<k<n+\frac{1}{2}$ ,
deci k ia toate valorile de la 1 la n.

Forum AniDeȘcoală.ro

ecuatie

ecuatie

Re: ecuatie