Problema siruri

ada2014 · Mesaj de **ada2014** » 30 Sep 2018, 16:12

Se considera sirul Xn, cu X1=3, X2=-1 și Xn•Xn-2 + Xn-1= 2 Sa se calculeze X1+X2+...X2016

Mesaj de **ghioknt** » 30 Sep 2018, 23:37

Din $x_1x_3+x_2=2$ obținem $x_3=1$ .
Consider propozițiile $P(n):\;\;(x_{3n-2}+x_{3n-1}=2)\wedge (x_{3n}=1)\;\forall n\geq 1$
Propoziția P(1) înseamnă $(x_1+x_2=2)\wedge (x_3=1)$ și este adevărată.
Fie n un număr natural pentru care P(n) este adevărată și să cercetăm adevărul propoziției P(n+1) adică
$(x_{3n+1}+x_{3n+2}=2)\wedge (x_{3n+3}=1)$ .
Relația $x_{3n+1}x_{3n-1}+x_{3n}=2$ devine $x_{3n+1}x_{3n-1}=1.$
Relația $x_{3n+2}x_{3n}+x_{3n+1}=2$ devine $x_{3n+2}+x_{3n+1}=2$ , adică prima ''jumătate" a lui P(n+1).
Relația $x_{3n+3}x_{3n+1}+x_{3n+2}=2$ se mai poate scrie $x_{3n+3}x_{3n+1}+x_{3n+2}=x_{3n+2}+x_{3n+1}$
sau $x_{3n+1}(x_{3n+3}-1)=0$ , și cum primul factor nu poate fi nul (s-ar contrazice prima relație), rămâne că paranteza este nulă, deci și a doua "jumătate" a lui P(n+1) este adevărată. Conform principiului inducției matematice, toate propozițiile P(n) sunt adevărate.
Asta înseamnă că cei 2016 termeni se pot asocia câte 3, consecutivi, fiecare grup având suma 3, deci valoarea sumei este 2016.

Forum AniDeȘcoală.ro

Problema siruri

Problema siruri

Re: Problema siruri