Problema siruri

[ada2014]

Se considera sirul Xn, cu X1=3, X2=-1 și Xn•Xn-2 + Xn-1= 2 Sa se calculeze X1+X2+...X2016

[ghioknt]

Din obținem .
Consider propozițiile
Propoziția P(1) înseamnă și este adevărată.
Fie n un număr natural pentru care P(n) este adevărată și să cercetăm adevărul propoziției P(n+1) adică
.
Relația devine
Relația devine , adică prima ''jumătate" a lui P(n+1).
Relația se mai poate scrie
sau , și cum primul factor nu poate fi nul (s-ar contrazice prima relație), rămâne că paranteza este nulă, deci și a doua "jumătate" a lui P(n+1) este adevărată. Conform principiului inducției matematice, toate propozițiile P(n) sunt adevărate.
Asta înseamnă că cei 2016 termeni se pot asocia câte 3, consecutivi, fiecare grup având suma 3, deci valoarea sumei este 2016.