Limita,sir convergent (UNIBUC)

Matrice. Permutari. Determinanti. Sisteme de ecuatii. Siruri convergente. Limite de functii. Continuitate. Derivabilitate. Reprezentarea grafica a functiilor.
Maitreyi
utilizator
utilizator
Mesaje: 7
Membru din: 11 Mar 2018, 20:55

Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de Maitreyi » 28 Mai 2018, 18:05

https://imgur.com/a/i2X6xbc
M-ar interesa punctul c)
N-am idee cum s-ar rezolva asa ceva dar am sa precizez totusi ce mi-a venit in minte...
Din graficul functiei, care ar arata cam in halul acesta: https://imgur.com/a/Sl5tjb0, ar reiesi ca ecuatia f(x) = 1/n are o solutie unica xn (1/n fiind subunitar pentru n natural*).
Tot din acelasi grafic, ar mai reiesi (cred eu) ca xn este cuprins intre 0 si 1, si ca este crescator, deci convergent, cu limita egala cu 1.

Examenul nefiind grila, as vrea sa stiu cum s-ar rezolva o astfel de problema in mod corect, si poate daca metoda mea este in regula.

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de PhantomR » 28 Mai 2018, 19:10

Daca faceti tabelul de variatie, veti obtine ca imagina functiei este pe si pe . Functia fiind strict descrescatoare pe cele 2 intervale (deci injectiva) si cele doua intervale fiind disjuncte, rezulta ca functia ia exact o singura data fiecare valoare din reuniunea celor doua intervale. In particular, ia o singura data orice valoare din . Cum , rezulta ca ecuatia are solutie unica pentru orice . Mai mult, aceasta solutie este in intervalul (vedeti observatia legata de imagine de a inceput), deci .

Deoarece e strict descrescatoare si sirul e descrescator, rezulta ca e crescator (demonstratia v-o las dumneavoastra, dar daca nu va iese, va rog sa reveniti).

Am mai avea nevoie de o margine superioara pentru a trage concluzia ca sirul e convergent.. sa observam ca . Daca observam si ca , inseamna ca . Altfel, putem chiar din sa tragem concluzia ca .

Maitreyi
utilizator
utilizator
Mesaje: 7
Membru din: 11 Mar 2018, 20:55

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de Maitreyi » 28 Mai 2018, 20:58

Deoarece e strict descrescatoare si sirul e descrescator, rezulta ca e crescator (demonstratia v-o las dumneavoastra, dar daca nu va iese, va rog sa reveniti).
Am incercat sa demonstrez acest lucru presupunand ca xn > xn+1 => f(xn) < f(xn+1) => 1/n < 1/(n+1) ceea ce este fals, deci xn <= xn+1, deci xn crescator. As vrea sa stiu totusi cum ati face dumeavoastra.

Si, daca se poate, sa explicati mai detaliat rationamentul din care rezulta marginea superioara...de ce reise ca xn si mai apoi xn

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de PhantomR » 30 Mai 2018, 01:38

Maitreyi scrie:
28 Mai 2018, 20:58
Deoarece e strict descrescatoare si sirul e descrescator, rezulta ca e crescator (demonstratia v-o las dumneavoastra, dar daca nu va iese, va rog sa reveniti).
Am incercat sa demonstrez acest lucru presupunand ca xn > xn+1 => f(xn) < f(xn+1) => 1/n < 1/(n+1) ceea ce este fals, deci xn <= xn+1, deci xn crescator. As vrea sa stiu totusi cum ati face dumeavoastra.
Este foarte corect cum ati facut, daca precizati ca presupunerea se face pentru un arbitrar. In general, daca e strict descrescatoare, iar e descrescatoare, rezulta ca e crescatoare. Sa presupunem prin reducere la absurd ca exista cu . Obtinem ( e descrescatoare), adica , contrazicand faptul ca e descrescatoare. Deci pentru orice avem , adica e crescatoare. In particular, in cazul nostru avem ..
Maitreyi scrie:
28 Mai 2018, 20:58
Si, daca se poate, sa explicati mai detaliat rationamentul din care rezulta marginea superioara...de ce reise ca xn si mai apoi xn
Nu este "mai apoi", nu sunt legate. Ziceam doar ca oricare din ele se poate folosi. Deoarece , din proprietatea lui Darboux (pe care o are orice functie continua, dar nu numai), rezulta ca ia pe intervalul toate valorile dintre (inclusiv) si (exclusiv), deci si toate valorile din pentru ca

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de Integrator » 31 Mai 2018, 08:21

Maitreyi scrie:
28 Mai 2018, 18:05
https://imgur.com/a/i2X6xbc
M-ar interesa punctul c)
N-am idee cum s-ar rezolva asa ceva dar am sa precizez totusi ce mi-a venit in minte...
Din graficul functiei, care ar arata cam in halul acesta: https://imgur.com/a/Sl5tjb0, ar reiesi ca ecuatia f(x) = 1/n are o solutie unica xn (1/n fiind subunitar pentru n natural*).
Tot din acelasi grafic, ar mai reiesi (cred eu) ca xn este cuprins intre 0 si 1, si ca este crescator, deci convergent, cu limita egala cu 1.

Examenul nefiind grila, as vrea sa stiu cum s-ar rezolva o astfel de problema in mod corect, si poate daca metoda mea este in regula.
Bună dimineața,

Care funcție are graficul https://imgur.com/a/Sl5tjb0?Pentru ce valori ale lui avem ?

Toate cele bune,

Integrator

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de Integrator » 31 Mai 2018, 08:40

PhantomR scrie:
28 Mai 2018, 19:10
Daca faceti tabelul de variatie, veti obtine ca imagina functiei este pe si pe . Functia fiind strict descrescatoare pe cele 2 intervale (deci injectiva) si cele doua intervale fiind disjuncte, rezulta ca functia ia exact o singura data fiecare valoare din reuniunea celor doua intervale. In particular, ia o singura data orice valoare din . Cum , rezulta ca ecuatia are solutie unica pentru orice . Mai mult, aceasta solutie este in intervalul (vedeti observatia legata de imagine de a inceput), deci .

Deoarece e strict descrescatoare si sirul e descrescator, rezulta ca e crescator (demonstratia v-o las dumneavoastra, dar daca nu va iese, va rog sa reveniti).

Am mai avea nevoie de o margine superioara pentru a trage concluzia ca sirul e convergent.. sa observam ca . Daca observam si ca , inseamna ca . Altfel, putem chiar din sa tragem concluzia ca .
Buna dimineața,

1) Câte soluții are ecuația ?
2) Câte soluții are ecuația ?
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
n) Câte soluții are ecuația unde *?

Numai bine,

Integrator

Maitreyi
utilizator
utilizator
Mesaje: 7
Membru din: 11 Mar 2018, 20:55

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de Maitreyi » 31 Mai 2018, 09:39

Care funcție are graficul ce valori ale lui avem ?
Buna dimineata!
Graficul acela este al functiei din enunt, doar ca am facut imaginea in cadranul 1.
Pentru x apartine[0,1] avem inegalitatea.

Si, daca tot ati adus in discutie graficul functiei, mi se pare ceva ciudat in legatura cu acesta, si anume ca si totusi, pe grafic, nu apare aceasta asimptota orizontala, dar in schimb, apare asimptota y = -pi/2, deci ar insemna ca limita anterioara este -pi/2?

Graficul complet al functiei este aici:https://imgur.com/a/95PDvRa

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1555
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de ghioknt » 31 Mai 2018, 22:13

Chiar nu înțeleg de ce nu accepți că funcțiile arctg și arcctg sunt continue în 0, deci că limitele lor laterale sunt aceleași cu valorile lor în 0: , deci graficul indicat este corect.
Cât despre șir, eu aș scrie următoarea pledoarie.
este o funcție continuă, strict descrescătoare
și surjectivă. Consecințe: ecuația are soluție unică pentru orice a din ,
în particular și pentru a=1/n; are o inversă continuă și strict descrescătoare .
Din deduc , iar din cntinuitatea inversei:
; valoarea inversei în 0 este 1, pentru că valoarea în 1 a funcției date este 0.

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de PhantomR » 01 Iun 2018, 02:18

Citind postarea domnului ghioknt am observat (recitind apoi enuntul) ca se cerea si limita.. Din , trecand la limita rezulta .. cum functia ia o singura data valoarea 0 (am discutat in postul anterior), trebuie sa incercam sa gasim acel punct in care ea chiar e .. dar aceasta revine la ... deci ...

EDIT: Solutia propusa de domnul ghioknt pare mai frumoasa decat cea propusa de mine :D..

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de Integrator » 01 Iun 2018, 07:27

PhantomR scrie:
01 Iun 2018, 02:18
Citind postarea domnului ghioknt am observat (recitind apoi enuntul) ca se cerea si limita.. Din , trecand la limita rezulta .. cum functia ia o singura data valoarea 0 (am discutat in postul anterior), trebuie sa incercam sa gasim acel punct in care ea chiar e .. dar aceasta revine la ... deci ...

EDIT: Solutia propusa de domnul ghioknt pare mai frumoasa decat cea propusa de mine :D..
Bună dimineața,

Nu înțeleg!Din ceea ce ați scris și anume rezultă o banală afirmație evidentă , adică o axiomă de tipul 1=1.....deoarece este valabilă pentru orce *.... :roll: Dacă ați vrut să scrieți , atunci rezultă două soluții și .
---------------------------------------------------------------------------------------
Repet:
Câte soluții are ecuația unde *?Multumesc!

Numai bine,

Integrator

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de Integrator » 01 Iun 2018, 07:54

Maitreyi scrie:
31 Mai 2018, 09:39
Care funcție are graficul ce valori ale lui avem ?
Buna dimineata!
Graficul acela este al functiei din enunt, doar ca am facut imaginea in cadranul 1.
Pentru x apartine[0,1] avem inegalitatea.

Si, daca tot ati adus in discutie graficul functiei, mi se pare ceva ciudat in legatura cu acesta, si anume ca si totusi, pe grafic, nu apare aceasta asimptota orizontala, dar in schimb, apare asimptota y = -pi/2, deci ar insemna ca limita anterioara este -pi/2?

Graficul complet al functiei este aici:https://imgur.com/a/95PDvRa
Bună dimineața,

De la "WolframAlpha" citire:

1) https://www.wolframalpha.com/input/?i=f ... g(1%2F(x))

2) https://www.wolframalpha.com/input/?i=l ... g(1%2F(x))

3) https://www.wolframalpha.com/input/?i=a ... ))%3D1%2Fn

a) https://www.wolframalpha.com/input/?i=a ... ))%3D1%2F1 pentru .

b) https://www.wolframalpha.com/input/?i=a ... ))%3D1%2F2 pentru .

c) https://www.wolframalpha.com/input/?i=a ... ))%3D1%2F3 pentru .

Câte șiruri există?

Toate cele bune,

Integrator

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de PhantomR » 01 Iun 2018, 15:27

Integrator scrie:
01 Iun 2018, 07:27

Nu înțeleg!Din ceea ce ați scris și anume rezultă o banală afirmație evidentă , adică o axiomă de tipul 1=1.....deoarece este valabilă pentru orce *.... :roll: Dacă ați vrut să scrieți , atunci rezultă două soluții și .
Aveti dreptate, va multumesc. Da, trebuia sa scrie arccotangenta in unul din membri. Legat de solutii, aveti dreptate... era importanta sa mentionez ca ca sa ramana o singura solutie.. am sa corectez.
Integrator scrie:
01 Iun 2018, 07:27
Repet:
Câte soluții are ecuația unde *?Multumesc!
Una singura.. am demonstrat asta atat eu, cat si domnul ghioknt.

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de PhantomR » 01 Iun 2018, 15:39

PhantomR scrie:
01 Iun 2018, 02:18
Citind postarea domnului ghioknt am observat (recitind apoi enuntul) ca se cerea si limita.. Din , trecand la limita rezulta .. cum functia ia o singura data valoarea 0 (am discutat in postul anterior), trebuie sa incercam sa gasim acel punct in care ea chiar e .. dar aceasta revine la ... deci ...
Erata: Avem deoarece . Ar trebui cumva eliminat cazul (aparent) posibil . Singurul 'lipici' pt acest caz particular pe care l-am gasit e urmatorul: consideram functia (prelungirea prin continuitate a lui de la la ). Avem . Trecand la limita, rezulta . Cum , rezulta cu necesitate ca si apoi , de unde, cum , obtinem .

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de PhantomR » 01 Iun 2018, 20:59

PhantomR scrie:
01 Iun 2018, 15:27
Una singura.. am demonstrat asta atat eu, cat si domnul ghioknt.
Oh, ba nu... am scris o prostie. E posibil sa fie si doua.... cele doua intervale din imaginea functiei pe care le-am mentionat in prima postare NU sunt de fapt disjuncte... atunci cerinta acestei probleme este GRESITA.. asta daca nu se specifica ceva de genul: 'are o solutie reala POZITIVA (sau NEGATIVA) unica' .........

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1555
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de ghioknt » 03 Iun 2018, 21:56

PhantomR scrie:
01 Iun 2018, 20:59
.... cele doua intervale din imaginea functiei pe care le-am mentionat in prima postare NU sunt de fapt disjuncte...
Cele două intervale care alcătuiesc imaginea funcției chiar sunt disjuncte. Doar că la primul mai trebuia să tastați un -.

Apropo de funcție. A observat cineva ca ea se mai poate scrie și

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de PhantomR » 04 Iun 2018, 00:21

Oh.. va multumesc mult, nu am mai refacut calculele, doar am citit ce scrisesem. Ma intrebam de ce Wolfram Alpha chiar zice ca ar fi doua solutii pentru . Daca nu am gresit, atunci sunt in dilema..

Legat de forma aceea pentru functie, am observat si eu gandindu-ma la identitatea :D (de fapt, m-am gandit cum sa scap de pentru ca nu-i stiam bine limitele / intervalul de definitie :D ).

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1555
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de ghioknt » 04 Iun 2018, 11:33

Ecuația are, în aceste condiții, soluția unică și evidentă .

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de Integrator » 05 Iun 2018, 08:56

ghioknt scrie:
03 Iun 2018, 21:56
PhantomR scrie:
01 Iun 2018, 20:59
.... cele doua intervale din imaginea functiei pe care le-am mentionat in prima postare NU sunt de fapt disjuncte...
Cele două intervale care alcătuiesc imaginea funcției chiar sunt disjuncte. Doar că la primul mai trebuia să tastați un -.

Apropo de funcție. A observat cineva ca ea se mai poate scrie și
Bună dimineața,

Pentru ce valori ale lui putem scrie ?Eu zică că pentru
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Punctul c) din problema "https://imgur.com/a/i2X6xbc" specifică că este vorba despre funcția * , .Dacă ecuația are soluție unică pentru * , atunci ce semn are primul termen al șirului ?
Mulțumesc frumos!

Numai bine,

Integrator

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de Integrator » 05 Iun 2018, 09:23

PhantomR scrie:
04 Iun 2018, 00:21
Oh.. va multumesc mult, nu am mai refacut calculele, doar am citit ce scrisesem. Ma intrebam de ce Wolfram Alpha chiar zice ca ar fi doua solutii pentru . Daca nu am gresit, atunci sunt in dilema..

Legat de forma aceea pentru functie, am observat si eu gandindu-ma la identitatea :D (de fapt, m-am gandit cum sa scap de pentru ca nu-i stiam bine limitele / intervalul de definitie :D ).
Bună dimineața,

Pentru ce valori ale lui putem scrie ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Pentru ce valori ale lui putem scrie ?Eu zică că pentru
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Punctul c) din problema "https://imgur.com/a/i2X6xbc" specifică că este vorba despre funcția * , .Dacă ecuația are soluție unică pentru * , atunci ce semn are primul termen al șirului ?
Mulțumesc frumos!

Numai bine,

Integrator

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de PhantomR » 05 Iun 2018, 20:21

Domnule Integrator, daca ati gasit vreo greseala in ce am demonstrat eu sau domnul ghioknt, va rog sa ne spuneti ce anume si unde (nu vreau intrebari!!). Sincer, habar n-am cum gaseste Wolfram Alpha doua solutii. Ori e gresit acolo, ori am gresit eu si domnul ghioknt.

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj