matrice+f.derivabila

Matrice. Permutari. Determinanti. Sisteme de ecuatii. Siruri convergente. Limite de functii. Continuitate. Derivabilitate. Reprezentarea grafica a functiilor.
Bjarn3
utilizator
utilizator
Mesaje: 84
Membru din: 22 Dec 2017, 11:00

matrice+f.derivabila

Mesaj de Bjarn3 » 28 Feb 2018, 21:25

1.Fie A o matrice inversabila. Sa se demonstreze ca :


2.Se considera functiile f,f continue pe [a,b] si derivabile pe (a,b),astfel incat .Sa se demonstreze ca exista cu proprietate ca:

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1537
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: matrice+f.derivabila

Mesaj de gigelmarga » 28 Feb 2018, 21:29

"
2) Un utilizator poate face cel mult două solicitări de rezolvare pe zi. Este interzis a include mai multe exerciţii sau probleme într-o singură solicitare. Sunt permise problemele cu mai multe cerinţe numai în situaţia în care rezolvarea unei cerinţe este esenţială în rezolvarea alteia.

3) La fiecare "solicitare de rezolvare" va trebui menţionată sursa de provenienţă a problemei. În cazul cărţilor - manuale, culegeri, etc - se va indica titlul, anul apariţiei, editura, numele unui autor şi numărul paginii. Pentru problemele din reviste precizaţi numele revistei, numărul/anul, pagina, autorul problemei. În alte (mult mai rare) situaţii, veţi da suficiente detalii asupra împrejurării în care v-aţi întâlnit cu acea problemă."

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2861
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: matrice+f.derivabila

Mesaj de PhantomR » 28 Feb 2018, 21:35

La 1, fie si . Daca , atunci . Observam atunci ca .

Din relatia Cayley-Hamilton. avem , de unde, inmultind cu , deducem .

Inlocuind relatiile (1) si (2) in determinantul cerut, obtinem ca el e egal cu .

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2861
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: matrice+f.derivabila

Mesaj de PhantomR » 28 Feb 2018, 22:37

La 2.. as fi curios sa vad o rezolvare mai eleganta, dar:

Mai intai, sa observam ca implica, deoarece are proprietatea lui Darboux (fiind o derivata), ca are semn constant, deci e strict monotona, deci injectiva. Cum -ul din discutie e diferit de , rezulta ca expresia din membrul drept are sens pentru orice .

Aducand la acelasi numitor obtinem:

sau

Sa observam ca expresia din membrul stang si expresia formata din ultimii 2 termeni ai parantezei din membrul drept seamana. Intr-adevar, daca notam , putem rescrie egalitatea ca:
. Mai departe, notand , aceasta se poate scrie ca:
sau .
Expresia din membrul stang aduce aminte de smecheria cu , utila pentru a rezolva ecuatii de genul .

Astfel, putem observva ca . Inmultind egalitatea la care ne oprisem anterior cu , observam ca si in membrul drept ne apare chiar , deci avem:
. Ei bine, notand si , egalitatea anterioara e .

Sa observam ceva interesant: deoarece , avem .

Finalizarea 1:
Relatia se scrie . Considerand , observam ca si , deci si atunci, din teorema lui Rolle, problema e gata.

Finalizarea 2 (doar asa, ca idee, dar e cam degeaba pentru ca utilizeaza Finalizarea 1 pentru unul din cazuri):
Daca observam ca si , putem vedea ca e exact . Deci, ca sa finalizam:

Functiile sunt continue pe si derivabile pe . Aplicand teorema lui Cauchy, rezulta ca exista astfel incat:
, care e echivalent cu

Daca , am terminat.
Daca , nu am gasit alta modalitatea sa continui decat considerand functia de la Finalizarea 1...

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1613
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Teorema lui Rolle

Mesaj de ghioknt » 28 Feb 2018, 22:52

Se aplică teorema lui Rolle funcției .

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2861
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: matrice+f.derivabila

Mesaj de PhantomR » 28 Feb 2018, 23:42

Si eu am ajuns la acea functie ^_^. Cum ati reusit sa ajungeti la ea? Mie mi-a luat ceva, as fi curios sa vad alta idee de a o gasi.

NOTA:: Functia mentionata de ghioknt e functia (sau, poate, , nu am verificat exact) din postarea mea de mai sus.

PRECIZARE: Postarea mea de mai sus e lunga, dar o solutie pentru aceasta problema se poate redacta scurt, cum a precizat domnul ghioknt. Postarea de mai sus e asa lunga pentru ca arata cum se poate ajunge la functia care rezolva problema prin aplicarea teoremei lui Rolle.

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1613
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: matrice+f.derivabila

Mesaj de ghioknt » 01 Mar 2018, 16:59

PhantomR scrie:
28 Feb 2018, 23:42
Si eu am ajuns la acea functie ^_^. Cum ati reusit sa ajungeti la ea? Mie mi-a luat ceva, as fi curios sa vad alta idee de a o gasi.
Buna ziua
Cât pe ce să nu observ întrebarea dumneavoastră. Eu pur și simplu am eliminat numitorii, am scris relația obținută așa: f'(c)[g^2(c)-(g(a)+g(b))g(c)+g(a)g(b)] +[2g(c)g'(c)-(g(a)+g(c))g'(c)]=0, și m-am întrebat: a cui derivată o fi expresia asta care se anulează în punctul intermediar c? Am intuit că este derivata unui produs din care lipsea ceva, acea exponențială pe care, fie o derivezi, fie nu, tot aia e. Apoi am verificat dacă h(a)=h(b).
Cam dezamăgitor răspunsul meu, nu e nimic de învățat din el :?

Bjarn3
utilizator
utilizator
Mesaje: 84
Membru din: 22 Dec 2017, 11:00

Re: matrice+f.derivabila

Mesaj de Bjarn3 » 01 Mar 2018, 18:30

PhantomR scrie:
28 Feb 2018, 21:35
La 1, fie si . Daca , atunci . Observam atunci ca .

Din relatia Cayley-Hamilton. avem , de unde, inmultind cu , deducem .

Inlocuind relatiile (1) si (2) in determinantul cerut, obtinem ca el e egal cu .
Ce simplu era,multumesc mult!
ghioknt scrie:
01 Mar 2018, 16:59
PhantomR scrie:
28 Feb 2018, 23:42
Si eu am ajuns la acea functie ^_^. Cum ati reusit sa ajungeti la ea? Mie mi-a luat ceva, as fi curios sa vad alta idee de a o gasi.
Buna ziua
Cât pe ce să nu observ întrebarea dumneavoastră. Eu pur și simplu am eliminat numitorii, am scris relația obținută așa: f'(c)[g^2(c)-(g(a)+g(b))g(c)+g(a)g(b)] +[2g(c)g'(c)-(g(a)+g(c))g'(c)]=0, și m-am întrebat: a cui derivată o fi expresia asta care se anulează în punctul intermediar c? Am intuit că este derivata unui produs din care lipsea ceva, acea exponențială pe care, fie o derivezi, fie nu, tot aia e. Apoi am verificat dacă h(a)=h(b).
Cam dezamăgitor răspunsul meu, nu e nimic de învățat din el :?
Apreciez totusi ca ati avut bunavointa sa imi scrieti o rezolvare(oricat de banala e,nu conteaza),spre deosebire de altii care nu stiu sa faca altceva decat sa-mi atraga atentia ca iar nu am facut ceva bine. :|

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj