Continuitate

Matrice. Permutari. Determinanti. Sisteme de ecuatii. Siruri convergente. Limite de functii. Continuitate. Derivabilitate. Reprezentarea grafica a functiilor.
Bjarn3
utilizator
utilizator
Mesaje: 84
Membru din: 22 Dec 2017, 11:00

Continuitate

Mesaj de Bjarn3 » 23 Feb 2018, 18:51



PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Continuitate

Mesaj de PhantomR » 23 Feb 2018, 22:06

La 2, cerinta trimite cu gandul la ecuatia functionala Cauchy (CLICK!): . Solutia acestei ecuatii e de forma , daca asupra lui se aplica conditii suplimentare (cum ar fi continua).

Am sa incerc sa prezint si intuitia in a rezolva problema (daca vreti direct solutia, am sa creez o alta postare raspuns cu o schita a solutiei 'directe', fara explicatii).

Incercam sa transformam ecuatia noastra intr-una Cauchy printr-o inlocuire (substitutie) de functie. Ca sa cautam substitutia, ne uitam la solutia generala (pt continua) de la punctul b) si incercam sa o prelucram pana o transformam intr-o expresie de forma si atunci, trasnformand in speram sa ajungem la ecuatia Cauchy. Practic, avem initial . Obtinem , de unde si . Expresia din membrul stang e exact ce cautam, deci functia cautata este . Obtinem sau . Din pacate, functia din membrul drept nu poate lua orice valoare reala (de ex, daca , poate lua doar valori intre ), asa ca nu putem substitui direct. In acest caz, am putea incerca sa studiem niste functii intermediare pentru a simplifica ecuatia functionala.. de exemplu, putem rescrie relatia anterioara ca si sa notam (pentru alta intuitie de a face aceasta substitutie, vedeti NOTA1). Obtinem si, inlocuind in ecuatia functionala, obtinem ecuatia functionala . Aceasta este o ecuatie echivalenta cu ecuatia Cauchy (nu stiu daca la link-ul de mai sus era analizata si aceasta ecuatie).

Acum, membrul stang aduce a expresia , deci avem , adica . De aici, observam substitutia (pentru alta intuitie de a face aceasta substitutie, vedeti NOTA2). Aceasta substitutie duce la . In orice caz, daca am logaritma aceasta ecuatie si am face substitutia (alta metoda de a deduce substitutia in NOTA3), am obtine exact ecuatia Cauchy. Din pacate, ca sa logaritmam trebuie sa aratam, cumva, ca . Pentru aceasta, punem si obtinem . Ramane sa aratam ca .
1) Daca exista cu , punand in ecuatia functionala obtinem . Verificand, aceasta este intr-adevar o solutie pentru ecuatia functionala , caci . Insa, aceasta inseamna si ca , de unde , contrazicand faptul ca e constanta, deci acest caz nu duce la o solutie si pentru problema originala.
2) Ramane deci ca . In acest caz, putem face inlocuirea si obtinem . Urmarind inlocuirile facute, avem .
Putem rezolva acum problema, avand in vedere ca am aratat ca daca e o solutie a ecuatiei initiale, exista o functie astfel incat si .
a) Daca e continua intr-un punct, deoarece , rezulta ca si e continua in acel punct. Daca va uitati in articolul din link, puteti gasi o demonstratie ca in acel caz rezulta ca e continua pe , iar deoarece rezulta ca la fel e si .
b) Daca e continua, atunci si este si, atunci, (si pentru acest fapt puteti gasi o demonstratie in link ; nu sunt sigur daca la olimpiada e permis sa se foloseasca direct faptul ca o solutie continua a ecuatiei Cauchy e de forma , insa s-ar putea.. e un rezultat pe care l-am mai vazut folosit in rezolvarile din Gazeta Matematica sau chiar la unele olimpiade locale, daca stiu bine ; oricum, daca studiati acel link, puteti gasi si alte cazuri in care stim sigur ca solutia e de forma aceea). Obtinem . Verificam in ecuatia functionala initiala si obtinem ca, intr-adevar, toate functiile de aceasta forma sunt bune. Insa, ni se cerea si ca sa nu fie constanta. Daca ar fi constanta, am avea , deci . Observand ca orice se poate scrie ca , obtinem solutia ceruta.

NOTA1: Prima substitutie se putae observa si Inmultind ecuatia functionala din enunt cu .
NOTA2: A doua substitutie: putea fi obtinuta si din substitutia pe care am fi vrut s-o facem initial: , care e exact de forma sau .
NOTA3: A treia substitutie se putea deduce din faptul ca, daca ne uitam la , avem , deci ( este chiar acel pe care am fi vrut sa-l inlocuim de la inceput).
Ultima oară modificat 23 Feb 2018, 22:17 de către PhantomR, modificat 1 dată în total.

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Continuitate

Mesaj de PhantomR » 23 Feb 2018, 22:12

Schita pentru rezolvarea directa, fara intuitia de la inceputul postului de mai sus:
1. Notam si obtinem . care conduce la ecuatia functionala .

2 Demonstram ca in postul de mai sus (acela mare) ca , apoi notam , deci si obtinem ecuatia functionala Cauchy: .

3. Finalizare ca in postul de mai sus (acela mare).

Bjarn3
utilizator
utilizator
Mesaje: 84
Membru din: 22 Dec 2017, 11:00

Re: Continuitate

Mesaj de Bjarn3 » 23 Feb 2018, 22:15

Wow ,mulțumesc mult . Aveți idee cum sa o faceți și pe prima ? Cred că ar merge cu teorema cleștelui ...

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Continuitate

Mesaj de PhantomR » 23 Feb 2018, 22:16

Cu drag. Imi pare rau daca pare infricosator de lunga postarea, insa am incercat sa prezint si explicatii.. as fi putut sa pun de la inceput substitutiile, insa mie mi se pare sec sa nu prezint cum se poate ajunge la ele.

EDIT: prima nu mi-a iesit.. am sa mai incerc.

Bjarn3
utilizator
utilizator
Mesaje: 84
Membru din: 22 Dec 2017, 11:00

Re: Continuitate

Mesaj de Bjarn3 » 24 Feb 2018, 16:42

PhantomR scrie:
23 Feb 2018, 22:16
Cu drag. Imi pare rau daca pare infricosator de lunga postarea, insa am incercat sa prezint si explicatii.. as fi putut sa pun de la inceput substitutiile, insa mie mi se pare sec sa nu prezint cum se poate ajunge la ele.
No problem.
PhantomR scrie:
23 Feb 2018, 22:16
EDIT: prima nu mi-a iesit.. am sa mai incerc.
Stati ca am gasit eu o solutie in culegere. Zice asa:
" Se ia si din deducem ca La fel, daca , obtinem si deci "
Smecher,nu ? :) Am intuit bine ca se face cu criteriul clestelui.

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1537
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Continuitate

Mesaj de gigelmarga » 24 Feb 2018, 17:06

Problema e remarcabilă deoarece a fost propusă de unul dintre cei mai mari matematicieni români contemporani, Dan Voiculescu.

Imagine

Bjarn3
utilizator
utilizator
Mesaje: 84
Membru din: 22 Dec 2017, 11:00

Re: Continuitate

Mesaj de Bjarn3 » 24 Feb 2018, 18:52

Interesant, nu am auzit de el. Acum daca tot ați pus și o poza cu problema, nu ar fi frumos să redactați o rezolvare pentru subpunctul b)?

Bjarn3
utilizator
utilizator
Mesaje: 84
Membru din: 22 Dec 2017, 11:00

Re: Continuitate

Mesaj de Bjarn3 » 24 Feb 2018, 19:27

Si inca o intrebare, de unde ati facut rost de poza?

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Continuitate

Mesaj de PhantomR » 24 Feb 2018, 19:51

Wow, frumoasa rezolvare! Pentru b), faptul ca e crescatoare pe se vede. Cum pentru avem , deducem ca e crescatoare pe tot domeniul de definitie. Mai departe, fie . Inegalitatea ceruta e echivalenta cu , echivalent cu , adevarat (de fapt, orice functie a carei restrictie la intervalul e de gradul cu coeficient dominant verifica (cu egalitate) ipoteza).

Functia nu e continua in deoarece .

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1537
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Continuitate

Mesaj de gigelmarga » 24 Feb 2018, 19:58


Bjarn3
utilizator
utilizator
Mesaje: 84
Membru din: 22 Dec 2017, 11:00

Re: Continuitate

Mesaj de Bjarn3 » 25 Feb 2018, 10:55

PhantomR scrie:
24 Feb 2018, 19:51
Wow, frumoasa rezolvare! Pentru b), faptul ca e crescatoare pe se vede. Cum pentru avem , deducem ca e crescatoare pe tot domeniul de definitie. Mai departe, fie . Inegalitatea ceruta e echivalenta cu , echivalent cu , adevarat (de fapt, orice functie a carei restrictie la intervalul e de gradul cu coeficient dominant verifica (cu egalitate) ipoteza).

Functia nu e continua in deoarece .
Multam!

Andrix
utilizator
utilizator
Mesaje: 1
Membru din: 26 Feb 2018, 18:22

Re: Continuitate

Mesaj de Andrix » 26 Feb 2018, 18:32

Fie f:[0,1] cu valori in [0,1] , f continua.sa se arate ca exista un c care apartine intervalului (0,1] astfel incat f(c) =c

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1964
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Re: Continuitate

Mesaj de A_Cristian » 26 Feb 2018, 20:50

1. Deschide un alt topic pentru problema ta
2. Evident ca este fals. Pt functia constanta f(x)=0, singurul punct pt care f(x)=x este x=0, dar care nu apartine (0,1]. Asa ca te rog sa verifici enuntul cu atentie.

PS: Exista si alte exemple de functii care nu satisfac cerinta, de exemplu f(x)=ax, unde 0<a<1.

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1537
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Continuitate

Mesaj de gigelmarga » 26 Feb 2018, 21:39

A_Cristian scrie:
26 Feb 2018, 20:50
1. Deschide un alt topic pentru problema ta
2. Evident ca este fals. Pt functia constanta f(x)=0, singurul punct pt care f(x)=x este x=0, dar care nu apartine (0,1]. Asa ca te rog sa verifici enuntul cu atentie.

PS: Exista si alte exemple de functii care nu satisfac cerinta, de exemplu f(x)=ax, unde 0<a<1.
A greșit omul o paranteză... :)

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1964
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Re: Continuitate

Mesaj de A_Cristian » 27 Feb 2018, 11:30

Atunci hai sa corectam enuntul si sa rezolvam problema:
Fie f:[0,1] cu valori in [0,1] , f continua.sa se arate ca exista un c care apartine intervalului [0,1] astfel incat f(c) =c.
Consideram g:[0,1]->[-1,1], g(x)=x-f(x). Avem: g(0)=-f(0)<=0 si g(1)=1-f(1)>=0. Cu alte cuvinte, exista un c in [0,1] astfel incat g(c)=0 adica c-f(c)=0 adica f(c)=c. Evident, era suficient ca functia sa abia Darboux si nu neaparat sa fie continua.

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj