Matrice si determinanti

Matrice. Permutari. Determinanti. Sisteme de ecuatii. Siruri convergente. Limite de functii. Continuitate. Derivabilitate. Reprezentarea grafica a functiilor.
Felixx
senior
senior
Mesaje: 460
Membru din: 26 Apr 2015, 01:08

Matrice si determinanti

Mesaj de Felixx » 12 Feb 2018, 17:10

Fie ,cel putin una nesingulara astfel incat :
. Sa se calculeze:






ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1579
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Matrice si determinanti

Mesaj de ghioknt » 12 Feb 2018, 18:36

Raspunsul bun trebuie să fie valabil pentru orice pereche de matrici care îndeplinește ipoteza. Perechea formată din A - inversabilă și din inversa sa satisface ipoteza. În acest caz, toți determinanții care apar în problemă sunt nuli, iar f. este singurul răspuns în care apare valoarea 0.

Felixx
senior
senior
Mesaje: 460
Membru din: 26 Apr 2015, 01:08

Re: Matrice si determinanti

Mesaj de Felixx » 12 Feb 2018, 19:05

ghioknt scrie:
12 Feb 2018, 18:36
Raspunsul bun trebuie să fie valabil pentru orice pereche de matrici care îndeplinește ipoteza. Perechea formată din A - inversabilă și din inversa sa satisface ipoteza. În acest caz, toți determinanții care apar în problemă sunt nuli, iar f. este singurul răspuns în care apare valoarea 0.
Inteleg ce spuneti domnule profesor, dar asta ar insemna ca B este inversa lui A ?

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2861
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Matrice si determinanti

Mesaj de PhantomR » 12 Feb 2018, 19:55

EDIT: Legat de ce ati intrebat mai sus, daca va pot raspunde eu, aceea era ideea, ca este o combinatie de matrice care verifica ipoteza (totusi, probabil ca nu este singura), aceasta fiind o metoda de a gasi rapid raspunsul corect (foarte buna pentru examenul propriu-zis, cand sunteti contra timp :D).

Precizez ca m-am folosit de raspunsul final indicat de domnul ghioknt pentru gasirea rezolvarii (mai exact, am stiut unde trebuie sa ajung..), altfel ar fi fost mai dificil.

Avem si . Obtinem ca expresia ceruta este egala cu .

Dar, pe de alta parte, daca sau este inversabila, avem .
Demonstratie: Presupunem ca e inversabila (pentru inversabila se demonstreaza analog). Avem
.

Obtinem ca si apoi obtinem ca expresia ceruta e egala cu .

NOTA: De fapt, conditia ca una din matrice sa fie inversabila nu e necesara. Aceasta este deoarece proprietatea e adevarata pentru orice matrice patratice . De fapt, mai mult, polinoamele caracteristice ale matricelor si sunt mereu egale, adica (chiar ), iar proprietatea mentionata se obtine pentru . Demonstratia egalitatii celor doua polinoame caracteristice pe cazul general o puteti gasi in acea carte cu "Matematica pentru grupele de performanta, clasa a XI-a" pe care am mentionat-o si alta data. In demonstratie, daca-mi amintesc bine, se folosea ca rezultat ajutator cazul in care una din matrice e inversabila (cel demonstrat mai sus cu bold), iar demonstratia era identica cu ce am scris eu mai sus (in acea carte am vazut-o si eu, mai demult).

Felixx
senior
senior
Mesaje: 460
Membru din: 26 Apr 2015, 01:08

Re: Matrice si determinanti

Mesaj de Felixx » 12 Feb 2018, 22:28

Am obtinut si eu expresia .M-ati scos de la necaz cu demonstratia:
det(I-AB)=det(I-BA).
Eu am incercat sa arat ca matricile AB si BA au aceleasi valori proprii,dar eu credeam ca e valabila doar pentru matrici patratice de ordinul doi.
Sa aflam valorile proprii ale matricei AB,ele fiind radacinile ecuatiei:
det(AB-k*I)=k^2-Tr(AB)*k+det(AB)=0 (1)
Sa aflam valorile proprii ale matricei BA,care sunt radacinile ecuatiei:
det(BA-k*I)=k^2-Tr(BA)*k+det(BA)=0 (2)
unde Tr(AB)=Tr(BA) si det(AB)=detA*detB=detB*detA=det(BA)
Rezulta ca AB si BA au aceleasi valori proprii. Daca luam k=1 una dintre ele obtinem exact det(AB-I)=det(BA-I).
Va rog sa-mi spuneti daca am gresit ce ceva.
Dar eu vroiam demonstratia domnului PhantomR.
Va multumesc domnilor profesori si va rog sa-mi spuneti daca am gresit cu ceva.
Ma scuzati ca nu am utilizat LATEX-ul( si ca l-am inlociut pe lambda cu k), mie imi da numai erori astazi.
Da, am gasit si teorema cum ca polinoamele caracteristice ale matricelor AB si BA sunt mereu egale.Exista si demonstratia.Va multumesc mult.
Proprietatea2.2.9,pag.54

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2861
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Matrice si determinanti

Mesaj de PhantomR » 13 Feb 2018, 20:22

Ma bucur ca valoarea e corecta ^_^.

Legat de demonstratia pentru matrice de ordinul 2, eu as zice ca nu era necesar sa fie aduse valorile proprii in discutie ; mai exact, deoarece cele doua polinoame in : si celalalt, au aceeasi coeficienti (din cauza egalitatii celor 2 urme si celor 2 determinanti pe care i-ati amintit), rezulta ca sunt egale.

Felixx scrie:
12 Feb 2018, 22:28
Rezulta ca AB si BA au aceleasi valori proprii. Daca luam k=1 una dintre ele obtinem exact det(AB-I)=det(BA-I).
Aici, as zice ca este o greseala de exprimare. Nu putem da valori unei valori proprii. Putem ,in schimb, da valori variabilei polinoamelor, dar valorile proprii (radacinile celor 2 polinoame, care se obtin rezolvand ecuatia ce rezulta egaland polinomul cu ) sunt fixe pentru fiecare pereche de matrice .

Oh, iar legat de , nicio problema :D. Chiar era foarte inteligibil textul matematic pe care l-ati scris si fara. Va multumes si eu ca ati scris locatia demonstratiei acelui rezultat ! :D.

Felixx
senior
senior
Mesaje: 460
Membru din: 26 Apr 2015, 01:08

Re: Matrice si determinanti

Mesaj de Felixx » 13 Feb 2018, 21:20

Multumesc domnule PhantomR.

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj