Buna ziua, am o intrebare la voi. Pot exista puncte de infelxiune unde f”(x) sa nu se anuleze? Daca da, care ar fi acelea? Care ar fi o definitie corecta a punctelor de inflexiune? Pe net am gasit aceasta
Dar aici zice ca f”(x) trebuie sa fie 0. Dar am vazut funcii care intr-un anumit punct nu au derivata a doua dar acel punct este punct de infexiune.
Si inca o dilema:
Pentru functia f(x)=x/1-x^2 daca aflam domeniul de definitie acesta este D=R\{-1;1}. Daca egalam f”(x)=0 gasim ca punct de inflexiune punctul 0, deoarece in 0 schimba si semnul derivata a doua. Intrebarea mea este de ce sunt luate in considerare ca puncte de inflexiune si -1 si 1 daca acestea nu apartin domeniului de definitie chiar daca in aceste puncte se schimba curba din conevex in concav. Nu este oarecum in contradictie cu definitia punctului de inflexiune in care zice ca derivata intai trebuie sa existe ( functia sa aiba derivata intai in acele puncte) dar intrebarea mea este, cum poate exista derivata intai daca functia nu este definita in -1 si 1 ? Acel exemplu l-am vazut aici la subpunctul c). In josul paginii
Ma poate cineva lamuri?
Când descriem geometric un punct de inflexiune al unei curbe plane zicem cam asa: un punct P al unei curbe plane este punct de
inflexiune al curbei dacă există tangenta la curbă în P si există o vecinătate a lui P (un disc cu centrul în P) în care curba traversează
o singură dată tangenta, si anume în P. Ca să transpunem aceste proprietăti geometrice, care nu depind de niciun reper, la graficul
unei functii, cred că ar trebui să postulăm următoarele.
Un punct x_0 din interiorul multimii E este punct de inflexiune pentru functia f:E -> R dacă:
a) f este continuă în x_0;
b) f are derivată în x_0, finită sau infinită;
c) există a, b cu a<x_0<b a. î. f este strict convexă pe intervalul (a; x_0) si strict concavă pe (x_0; b), sau viceversa.
Ai scris: Dar aici zice ca f”(x) trebuie sa fie 0. Acolo scrie despre f”(x_0)=0 că este una din conditiile suficiente, nu necesare.
Cât despre exemplul cu punctele -1 si 1, e vorba despre o gafă impardonabilă, mai ales că textul pare vechi de câtiva ani si
este bizar că nimeni nu a corectat asta.
Multumesc de raspuns, mai am cateva intrebari tot pentru acest subiect:
Urmatoarele afirmatii:
1. Daca functia este de doua ori derivabila intr-un punct de inflexiune x0 atunci f”(x0)=0 dar pot fi puncte de inflexiune unde functia este continua si schimba semnul dar sa nu existe f”(x0) dar acel x0 sa fie totusi punct de inflexiune? Cred ca da, rog pe cineva sa ma corecteze.
2. Daca vrem sa gasim toate punctele de inflexiune (pentru o functie continua pe domeniul ei de definitie), trebuie sa verificam unde f” se anuleaza si schimba si semnul si asa vom gasi in general toate punctele de inflexiune, dar daca functia este continua pe D iar domeniul de derivabilitate D’este mai mic, adica functia f are puncte in care aceasta nu este derivabila, dar acele puncte apartin domeniului de definitie al functiei, atunci trebuie verificat daca dintre aceste puncte, unul sau mai multe, va putea fi punct de inflexiune daca functia f are derivata f'(x0) in acest punct infinita iar f” schimba semnul in stanga si in dreapta lui x0.
3. In momentul cand o functie are derivata f'(x0) infinita int-un punct de inflexiune x0 care de fapt este punct de inflexiune cu tangenta veritcala, atunci totdeauna f” in punctul x0 nu va exista? Corect?
Un exemplu de functie pentru acestea este
La aceasta functie domeniul de definitie este R dar ea nu este derivabila in -1 si 1, dar totusi daca egalam f”(x)=0 gasim ca radacina doar pe x=0 iar pe tabel observam ca acest punct este punct de inflexiune, dar totusi si -1 si 1 sunt puncte de inflexiune pentru aceasta functie, iar f”(-1) si f”(1) nu exista, dar exista f'(-1) si f'(1) care dau infinit.
Va rog corectati-ma unde am gresit.