Salutare forum Matematic , am nevoie de ajutor la 2 probleme .
1) f este de doua ori derivabila pe I => f ” (x)>=0 , oricare ar f x din I daca si numai daca f- convexa pe I
2) |sinx|=m-|x| , m este Real => numarul de solutii Reale in functie de m .
Ni le-a dat domnul profesor , nu am idee de unde din pacate
În cele ce urmează voi cosidera mereu că dintre numerele primul este mai mic.
a)Pentru orice există si este unic numărul
Într-adevăr,
b) Definitie: functia f este convexă pe intervalul I înseamnă:
Ținând cont de a), relatia din definitie se mai poate scrie:
(1)
Dacă scădem din ambii membri expresia , relatia obtinută se poate scrie:
(2)
Dacă scădem , relatia obtinută se poate scrie:
(3)
Dacă modificăm putin membrul stâng al relatiei (1):
termenii se pot rearanja si obtinem:
(4)
Asadar, functia f este convexă pe intervalul I dacă si numai dacă oricare dintre relatiile (1), (2), (3) sau (4) are loc
.
Interpretările geometrice ale relatiilor (2), (3), (4) sunt evidente; ele stabilesc inegalităti între pantele unor coarde.
c)Să presupunem că functia f, de două ori derivabilă pe I, este si convexă pe acest interval. Din relatia (2) deducem:
Analog, din(3):
Deci adică f’ este crescătoare pe I; de unde pe I.
d) Lagrange spune că
Dar spune că f’ este crescătoare, de unde
adică are loc (4), deci f este convexă pe I.