Sa se arate ca daca f definit pe R cu valori in [0,infinit) este concava si de doua ori derivabila, atunci f este constanta.
M-am gandit la una din consecintele teoremei lui Lagrange care spune ca daca derivata functiei pe un interval este nula, atunci functia e constanta pe acel interval dar aceasta se aplica pentru derivata de ordinul intai. Daca f este concava, atunci derivata de ordinul doi este mai mica sau egala cu 0 pentru orice x din R. Luand cazul in care derivata a doua este 0, deducem ca prima derivata poate fi 0(de unde obtinem ca f este constanta) sau o constanta iar aici lucrurile se complica.
Zorumuser (0)
Dacă atunci este descrescătoare pe R. Deducem că există
Folosind l’Hospital, deducem că dar cum f ia numai valori nenegative, rezultă că de unde deci adica f e constanta.