Limita

keez56 · Mesaj de **keez56** » 11 Dec 2016, 18:12

lim n ---> ∞ din ( 1/radical din n^3+1) + (1/radical din n^3+2) +....+

(1/radical din n^3+n ). Cine ma poate ajuta sa o rezolv? Va multumesc!!

vTudor · Mesaj de **vTudor** » 11 Dec 2016, 22:41

Salutare!

$\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^3 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^3 + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^3 + n}})$

Putem folosi criteriul clestelui, încadrând suma respectivă astfel:

$\frac{1}{\sqrt{n^3 + n}} + \frac{1}{\sqrt{n^3 + n}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^3 + n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^3 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^3 + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^3 + n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^3 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^3 + 1}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^3 + 1}} \Leftrightarrow \frac{n}{\sqrt{n^3 + n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^3 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^3 + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^3 + n}} \leq \frac{n}{\sqrt{n^3 + 1}}$

Acum, limitele sirurile de încadrare sunt:

$\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{\sqrt{n^3 + n}}) = \lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n\sqrt{n + \frac{1}{n}}}) = \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n + \frac{1}{n}}}) = 0$

$\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{\sqrt{n^3 + 1}}) = \lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n\sqrt{n + \frac{1}{n^2}}}) = \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n + \frac{1}{n^2}}}) = 0$

Deci limita căutată este 0.

Numai bine,
VTudor