Sa zicem ca avem o matrice patratica cu n=2.A=1 2(linia 1) 2 1(linia 2).
Cum calculez A^n, n apartine N stelat?
Am gasit intr-o carte un ex asemănător cu matricea diferita si îl făcea prin inductie sau binomul lui newton. Dar ex de mau sus e putin diferit si nu-mi iese
Am gasit ceva asemănător in care descompuneai in ceva care era I2 apoi iti rămânea ceva care ridicat la orice putere e O2. Dar ,ca sa fie usor trebuie ca pe diagonala secundara sa fie unul din elemente 0. Nu am nici o idee.
Matrici
Puterile unei matrici
Într-adevăr, o rezolvare posibilă se bazează pe binomul lui Newton. Consideri şi matricea
\;cu\;U^2=I_2,\;deci\;U^{2k}=I_2\;si\;U^{2k+1}=U.)
Cum
comută la înmulţire, se poate aplica formula binomului lui Newton astfel:
^n=I_2+2C_n^1U+2^2C_n^2I_2+2^3C_n^3U+2^4C_n^4I_2+...=\\=(1+2^2C_n^2+2^4C_n^4+...)I_2+(2C_n^1+2^3C_n^3+...)U=s_1I_2+s_2U.)
Dacă ştii şi că^n=3^n;\;\;s_1-s_2=(1-2)^2=(-1)^n)
poţi afla că
^n}{2},\;\;s_2=\frac{3^n-(-1)^n}{2};\\A^n=\left ( \begin{matrix}\frac{3^n+(-1)^n}{2}&\frac{3^n-(-1)^n}{2}\\\frac{3^n-(-1)^n}{2}&\frac{3^n+(-1)^n}{2} \end{matrix} \right ).)
Cum
Dacă ştii şi că