Matrice

pp · Mesaj de pp » 14 Sep 2016, 20:03

Salutare!
Am urmatoarea problema :
Daca: $\varepsilon ^k + \varepsilon ^{ - 2k} + 1 = 0$ Să se calculeze

$\ \sum \limits_{k = 1}^n \left( \begin{array}{l} \varepsilon ^k {\rm }\varepsilon ^{ - 2k} {\rm }\varepsilon ^{4k} \\ \varepsilon ^{2k} {\rm }\varepsilon ^{ - k} {\rm }\varepsilon ^{k + 2} \\ \end{array} \right.$

pp · Mesaj de pp » 14 Sep 2016, 20:12

La ora de mate proful a inceput sa ne explice ca epsilon poarta denumirea de radacina cubica a unitatii si ca
$\varepsilon ^{\rm 3} - 1 = 0 - > \varepsilon ^{\rm 3} = 1 - > \varepsilon ^{{\rm 3k}} = 1,\varepsilon ^{{\rm 3k + 1}} = \varepsilon ,\varepsilon ^{{\rm 3k + 2}} = \varepsilon ^{\rm 2}$
Apoi a plecat furios din clasa, din pricina catorva lucruri care l-au iritat.
Inainte de a se infuria a explicat ca trebuie facut suma pentru fiecare. Asa ca am inceput sa fac pentru epsilon la puterea k. Am constatat ca este progresie geometrica cu ratia epsilon si am aplicat forumula sumei unei progresii geometrice urmand ca sa-mi dea :
$\varepsilon \cdot \frac{{\varepsilon ^n - 1}}{{\varepsilon - 1}}$
Asa ca m-am oprit, deoarece nu stiu cu ce ma ajuta proprietatile date de el.

pp · Mesaj de pp » 14 Sep 2016, 20:23

Tot cu aceasta radacina cubica a unitatii am si urmatorul exercitiu:
Se considera matricele:
$A = \left( \begin{array}{l} {\rm 1 1} \\ {\rm 0 1} \\ \end{array} \right),B = \left( \begin{array}{l} 1{\rm 0} \\ {\rm 1 1} \\ \end{array} \right),C = \left( \begin{array}{l} 1{\rm 0} \\ {\rm - 1 1} \\ \end{array} \right)$
Sa se rezolve sistemul:

$\left\{ \begin{array}{l} X + Y + Z = A \\ X + \varepsilon Y + \varepsilon ^2 Z = B \\ X + \varepsilon ^2 Y + \varepsilon Z = C \\ \end{array} \right.$
Eu le-am adunat pe toate pe verticala si mi-a dat : $(\varepsilon ^2 + \varepsilon + 1)(3X + Y + Z) = A + B + C$
Din nou aceeasi ecuatie a carei radacini sunt $\varepsilon _{1,2} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}$ . Nu am nici o idee cu ce ar trebui sa fac, stiu doar ca maine proful o sa fie foarte nervos pe noi.