Functii derivabile

mateus560276 · Mesaj de **mateus560276** » 10 Mar 2016, 22:17

Buna seara, am urmatorul exercitiu pe care nu stiu daca l-am gandit corect:

Sa se studieze derivabilitatea functiei f : R -> R, in x0 = 0, stiind ca:

$|f(x)-x^{3}| \leq x^{2}+sin^{2}x, \forall x\in R$

Eu m-am gandit ca se poate scrie:

$-x^{2}-sin^{2}x \leq f(x)-x^{3} \leq x^{2}+sin^{2}x$ ,

adica

$x^{3} -x^{2}-sin^{2}x \leq f(x) \leq x^{3} + x^{2}+sin^{2}x$ .

Atunci avem ca

$0 \leq f(0) \leq 0$ , adica

$f(0) = 0$

iar limita pentru derivabilitate este:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$

Atunci daca impartim prin x ultima relatie (cea cu f(x)) ar trebuie sa obtinem 2 cazuri (x > 0 si x < 0):

$x^{2} -x-\frac{sin^{2}x}{x} \leq \frac{f(x)}{x} \leq x^{2} + x+\frac{sin^{2}x}{x}$

si

$x^{2} -x-\frac{sin^{2}x}{x} \geq \frac{f(x)}{x} \geq x^{2} + x+\frac{sin^{2}x}{x}$

Acum daca luam limitele laterale spre 0+ si 0- si folosind criteriul clestelui rezulta ca

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{x} = 0$ ,

deci functia este derivabila in x0. M-ar interesa sa stiu daca este corect si daca pe aceasta idee se rezolva exercitiile de genul.

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 13 Mar 2016, 19:09

Buna seara,

Mie mi s-a parut corect cand l-am citit acum cateva zile (cred ca am uitat sa postez...). Din prima inegalitate pe care ati scris-o catre final rezulta ca limita la stanga in zero e nula, iar din cealalta faptul ca limita la dreapta e zero. Deci limita in zero e zero.

mateus560276 · Mesaj de **mateus560276** » 13 Mar 2016, 21:10

Multumesc pentru clarificare. Mai postez tot aici un exercitiu la care am o nelamurire:

Sa se studieze derivabilitatea functiei:
$f(x) = arcsin(|\frac{2x}{1+x^{2}}|)$

M-am gandit sa prelucrez modulul de unde obtin:

$\begin f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} arcsin(\frac{2x}{1+x^{2}}) & \frac{2x}{1+x^{2}} > 0\\ arcsin(-\frac{2x}{1+x^{2}}) & \frac{2x}{1+x^{2}} < 0 \end{array} \right.$

adica

$\begin f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} arcsin(\frac{2x}{1+x^{2}}) & x > 0\\ arcsin(-\frac{2x}{1+x^{2}}) & x < 0 \end{array} \right.$

De aici pot demonstra ca nu este derivabila in x = 0. Dar functia nu este derivabila nici in -1 si 1 si nu stiu de unde pot obtine aceste valori.