Exercitiu numere complexe

Sergiu2003 · Mesaj de **Sergiu2003** » 19 Oct 2019, 18:56

Va rog frumos sa ma ajutati. Fie z din C\R. Sa se arate ca z+1/z e din R, daca si numai daca |z|=1. Am reusit sa rezolv doar cea de-a doua implicatie.
|z|=1 echivalent cu z*z barat=1 echivalent cu z=1/z barat ; deci z+1/z=1/z barat+ 1/(1/z barat) = 1/ z barat +z barat , ceea ce arata ca z+1/z e din R. Nu stiu, insa, cum s-ar rezolva prima.

Felixx · Mesaj de **Felixx** » 20 Oct 2019, 01:17

Din
$z+\frac{1}{z}\in \mathbb{R}\Rightarrow \overline{z+\frac{1}{z}}=z+\frac{1}{z}\Leftrightarrow \overline{z}+\frac{1}{\overline{z}}=z+\frac{1}{z}\Leftrightarrow \overline{z}-z=\frac{\overline{z}-z}{z\cdot \overline{z}}\Leftrightarrow \left ( \overline{z}-z \right )\left ( 1-\frac{1}{z\cdot \overline{z}} \right )=0$
Rezulta
$\overline{z}-z=0\Rightarrow \overline{z}=z$ . Deci $z\in \mathbb{R}$ contradictie ,deoarece din ipoteza avem $z\in \mathbb{C}-\mathbb{R}$

sau
$1-\frac{1}{\overline{z}\cdot z}=0\Leftrightarrow z\cdot \overline{z}=1\Leftrightarrow \begin{vmatrix} z \end{vmatrix}^{2}=1$
si cum
$\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}\geq 0,\forall z\in \mathbb{C}$ , avem $\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}=1$

Forum AniDeȘcoală.ro

Exercitiu numere complexe

Exercitiu numere complexe

Re: Exercitiu numere complexe