Sistem de 2 ecuatii

Radicali. Functia exponentiala si functia logaritmica. Functii trigonometrice si inverse. Numere complexe. Metode de numarare (permutari, aranjamente, combinari, Binomul lui Newton). Matematici financiare. Geometrie: ecuatiile dreptei.
Glow 'n' Show
utilizator
utilizator
Mesaje: 40
Membru din: 22 Ian 2017, 13:30
Localitate: Romania

Sistem de 2 ecuatii

Mesaj de Glow 'n' Show » 09 Apr 2018, 22:16

Salut! Am o problema de la clasa pe care nu o stiu duce pana la capat.
sa se rezolve in multimea numerelor reale:

Am putut deduce doar ca x>y si ca o solutie este x=2 si y=1, dar nu stiu cum sa o rezolv complet.
Ma poate ajuta cineva?

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1537
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Sistem de 2 ecuatii

Mesaj de gigelmarga » 09 Apr 2018, 22:29

Ideea e cunoscută și, probabil, provine de la olimpiadele rusești. După observarea soluției x=2,y=1, se arată că orice altă posibilitate ( și sunt 4: a) x<2,y<1; b) x>2,y>1; c) x<2, y>1; d)x>2, y<1;) contrazice una dintre ecuații.

La noi a apărut prima dată la olimpiadă în 1986 și a fost copiată de multe ori de atunci.

Imagine

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1974
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Re: Sistem de 2 ecuatii

Mesaj de A_Cristian » 09 Apr 2018, 22:34

Intai pleci de la a-l scrie pe x in functie de y pentru prima ecuatie. Apoi pentru a doua. Construiesti 2 functii si observi ca una este descrescatoare (pe domeniul de definitie), iar cealalta crescatoare. Inseamna ca graficele celor 2 functii se intersecteaza in cel mult un punct. Hmm ... parca ai gasit acel punct.
Acum treci si scrii frumos matematic toata povestea de mai sus.

Glow 'n' Show
utilizator
utilizator
Mesaje: 40
Membru din: 22 Ian 2017, 13:30
Localitate: Romania

Re: Sistem de 2 ecuatii

Mesaj de Glow 'n' Show » 09 Apr 2018, 22:53

Multumesc pentru ambele indicatii, am rezolvat-o :D

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1537
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Sistem de 2 ecuatii

Mesaj de gigelmarga » 09 Apr 2018, 22:57

Glow 'n' Show scrie:
09 Apr 2018, 22:16
Salut! Am o problema de la clasa pe care nu o stiu duce pana la capat.
sa se rezolve in multimea numerelor reale:

Am putut deduce doar ca x>y si ca o solutie este x=2 si y=1, dar nu stiu cum sa o rezolv complet.
Ma poate ajuta cineva?
OK, deci e soluție. Să vedem dacă mai sunt și altele.

Dacă , atunci , contradicție.

Dacă , atunci , contradicție.

Dacă , atunci , contradicție.

Dacă , atunci , absurd.

Deci...

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1537
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Sistem de 2 ecuatii

Mesaj de gigelmarga » 09 Apr 2018, 23:05

Alt exemplu de folosire a aceleiași idei (culegerea de Niță-Năstăsescu -care, by the way-nu a fost scrisă de ei...)

Imagine

Glow 'n' Show
utilizator
utilizator
Mesaje: 40
Membru din: 22 Ian 2017, 13:30
Localitate: Romania

Re: Sistem de 2 ecuatii

Mesaj de Glow 'n' Show » 09 Apr 2018, 23:15

Multumesc :D

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj