O intrebare legata de o problema de la olimp. de matematica

Radicali. Functia exponentiala si functia logaritmica. Functii trigonometrice si inverse. Numere complexe. Metode de numarare (permutari, aranjamente, combinari, Binomul lui Newton). Matematici financiare. Geometrie: ecuatiile dreptei.
Justice88c
utilizator
utilizator
Mesaje: 5
Membru din: 16 Feb 2018, 21:53

O intrebare legata de o problema de la olimp. de matematica

Mesaj de Justice88c » 18 Feb 2018, 17:09

Problema la care ma refer suna asa:
Sa se arate ca nu exista numerele complexe nenule z, a, b, c care verifica simultan relatiile:
|z-a+b|=|2z+a-b|
|z-b+c|=|2z+b-c|
|z-c+a|=|2z+c-a|

Eu am rezolvat-o in modul urmator:
Fie x, x1, x2, x3, y, y1, y2, y3 reale astfel incat:z=x+yi, a=x1+y1i, b=x2+y2i, c=x3+y3i
Inlocuind in prima relatie se obtine:
|(x-x1+x2)+(y-y1+y2)i|=|(2x+x1-x2)+(2y+y1-y2)i|
Mai departe am exprimat modulul de numar complex cu radical:

De aici rezulta ca . Facand calculele iese ca:

Analog, din celelalte 2 relatii reiese ca:

Si ca
Adunand relatiile avem ca:

Evident, asta inseamna ca x=y=0. Deci z=0. Cum numerele trebuie sa fie nenule, rezulta concluzia.

Pe aceasta rezolvare am primit 4 puncte din 7. Mi-a scapat ceva?

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: O intrebare legata de o problema de la olimp. de matematica

Mesaj de PhantomR » 18 Feb 2018, 20:59

Mie mi se pare corecta.. daca cumva nu ati obtinut oricum destul punctaj pentru a trece mai departe, eu as zice ca ati putea face contestatie..

Justice88c
utilizator
utilizator
Mesaje: 5
Membru din: 16 Feb 2018, 21:53

Re: O intrebare legata de o problema de la olimp. de matematica

Mesaj de Justice88c » 18 Feb 2018, 21:07

Am obtinut destul punctaj, eram doar curios daca am lucrat corect. Multumesc pentru ajutor!

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2857
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: O intrebare legata de o problema de la olimp. de matematica

Mesaj de PhantomR » 18 Feb 2018, 21:11

Ma bucur, atunci :D. Cu drag! Nu prea stiu unde v-ar fi putut scadea 3 puncte.. oare, la concurs, ati explicat mai detaliat de ce ramane doar dupa adunarea celor 3 relatii? (desi, ma indoiesc ca se putea scadea pe asta, mai ales 3 puncte.. nu e chiar foarte complicat de observat de ce dispar termeni..)

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj