Buna seara!
Am o problema :
Fie a,b,c > 1 si . Demonstrati ca a=b=c.
Sugestii? Eu am incercat sa aplic medii, ma gandeam ca de acolo s-ar putea atinge cazul de egalitate in inegalitatea mediilor si sa reiasa apoi a=b=c
Multumesc anticipat!
quaintejuser (0)
Bună dimineața,
Două idei:
A) Știind că , , , atunci ce semne au acei logaritmi?💡
1) Presupunând că , atunci ce rezultă?
2) Presupunând că , atunci ce rezultă?
3) Presupunând că , atunci ce rezultă?
–––––––––––
B) Ce soluții poate avea ecuația unde , , ?
–––––––––––––––––
Mai pot fi și alte soluții decât soluția banală ???
Toate cele bune,
Intefgrator
Ideea e bună. Încercați așa: .
Multumesc, am incercat sa desfac in 2+1 dar in 1+1+1 nu m-am gandit.
La solutia A, din primele 2 cazuri reiese ca suma de logaritmi e ori mai mare decat 2, ori mai mica, dar la al 3-lea nu imi dau seama ce ar trebui sa fac…
La solutia B, fiecare radical este o functie strict crescatoare, deci suma lor va fi o alta functie strict crescatoare=> vom avea solutie unica, aceasta fiind x=y=z=1, ceea ce implica a=b=c. Este bine?
Multumesc, am incercat sa desfac in 2+1 dar in 1+1+1 nu m-am gandit.
La solutia A, din primele 2 cazuri reiese ca suma de logaritmi e ori mai mare decat 2, ori mai mica, dar la al 3-lea nu imi dau seama ce ar trebui sa fac…
La solutia B, fiecare radical este o functie strict crescatoare, deci suma lor va fi o alta functie strict crescatoare=> vom avea solutie unica, aceasta fiind x=y=z=1, ceea ce implica a=b=c. Este bine?
Bună dimineața,
A) 1) și 2) Din condițiile impuse de mine rezultă rezolvarea unei ecuații de forma , unde .Ecuația se mai poate scrie sub forma ( și care are doar soluția care verifică ecuația ceea ce implică faptul că și cum atunci rezultă .
A) 3) Cum putem transforma un logaritm într-o anumita bază într-un logaritm în altă bază.
B) Aș dori detalii suplimentare privind raționamentul Dvs..De ce soluția este unică?
Toate cele bune,
Integrator
Nu stiu daca am gandit bine, x, y si z depind una de alta, mai exact x*y*z=1
Ma refeream mai mult pe cazul general in care daca avem 3 numere, x,y,z pozitive, fara alta relatie intre ele, functia f(x)=x+3 este strict crescatoare. Functia radical g(x)= este si ea strict crescatoare, x>=0.
Deci compunerea celor doua functii va da o alta functie strict crescatoare.
Se aplica acelasi rationament pentru ceilalti 2 radicali, si vom obtine o suma de 3 functii strict crescatoare, care vor forma o alta functie strict crescatoare. Deci o functie strict crescatoare =o constanta => vom avea maxim o solutie pentru aceasta ecuatie.
Ma scuzati in caz ca am gresit pe undeva..
Și funcția f(x)=x e strict crescătoare. La fel ca mai sus, deducem că ecuația x+y+z=o constantă are maxim o soluție, nu?
Ați finalizat exercițiul folosind indicația pe care v-am dat-o?
Am inteles acum unde am gresit, multumesc de observatie.
Si da, am rezolvat exercitiul cu =>
Dupa insumare, se ajunge la pentru care se aplica ma>=mg
Se atinge cazul de egalitate in inegalitatea mediilor deci
Care conduce la a=b=c
Am procedat corect?
Da.
In regula, multumesc!
Buna dimineața,
O rezolvare dată de un profesor:
Se demonstrează ușor că pentru orice iar este binecunoscutul numărul al lui Euler.Inegalitatea se mai poate scrie sub forma unde și deci rezultă că unde , , iar egalitatea presupune si deci asta implică .
Q.E.D.
Toate cele bune,
Integrator
Buna dimineața,
O rezolvare dată de un profesor:
Se demonstrează ușor că pentru orice iar este binecunoscutul numărul al lui Euler.Inegalitatea se mai poate scrie sub forma unde și deci rezultă că unde , , iar egalitatea presupune si deci asta implică .
Q.E.D.
P.S. – Am modificat mesajul anterior deoarece am scris greșit în loc cum este de fapt corect….😳
Toate cele bune,
Integrator