Buna ziua! Am nevoie de o sugestie pentru urmatoarea problema:
Demonstrati ca unde > 1
M-am gandit sa demonstrez ca fiecare fractie este dar nu vad cum.. apoi am incercat cu media aritmetica si media geometrica, pentru toata suma de n termeni, dar nu am idee ce sa fac cu si ceilalti numitori.
Multumesc anticipat!
quaintejuser (0)
Dacă notezi și inegalitatea se scrie
Funcția f este convexă pe (0; s), deci .
Am doua nelamuriri, afirmatia ca f este convexa pe (0,s) se bazeaza pe graficul acesteia?( daca bine am vazut,f este strict crescatoare)?
Si inegalitatea aplicata este cea a lui Jensen?( ii stiu doar forma generala, si desi cred ca am inteles pentru ce valori e aplicata, as vrea sa fiu sigur ca nu gresesc).
In rest,multumesc pentru explicatii!
Da, la clasa a 10-a, convexitatea unei funcții pe un interval se poate baza pe forma graficului acesteia, nu pe monotonie. Functia este convexă pe un interval dacă oricare ar fi 2 puncte de pe grafic, orice punct care se află pe coarda care unește cele 2 puncte are ordonata >,= decât a punctului de pe grafic având aceeași abscisă (coarda – deasupra, graficul – dedesubt). Exemple: o funcție de gradul al doilea cu a>0 este convexă pe R, iar cu a<0, este concavă; functia sinus este concavă pe [0; pi], convexă pe [pi; 2pi] șamd.
Da, inegalitatea aplicată este a lui Jensen. Pentru a „beneficia” de ea, este suficient să arăți că situația descrisă mai sus are loc, nu pentru toate punctele unei coarde, ci doar prntru mijlocul ei:
– inegalitatea lui Jensen pentru 2 puncte.
Căci dacă inegalitatea are loc pentru oricare 2 puncte dintr-un interval, atunci ea are loc pentru oricare n puncte, în particular și pentru unele aflate în situația .
Pentru funcția noastră, scrisă , inegalitatea lui J. pentru 2 puncte se scrie:
adică inegalitatea dintre media armonică și cea aritmetică.
Cred că există multe demonstrații pentru această inegalitate. Iată una care combină inegalitatea lui Cebâșev cu C.B.S. Este clar că dacă are o anumită monotonie, atunci
are aceeași monotonie, deci cf. Cebâșev:
Mulțumesc frumos pentru explicatii, mi s-au clarificat toate nelămuririle😀
… plus altele despre care nici nu știam că le am!🙂