Numere complexe

Radicali. Functia exponentiala si functia logaritmica. Functii trigonometrice si inverse. Numere complexe. Metode de numarare (permutari, aranjamente, combinari, Binomul lui Newton). Matematici financiare. Geometrie: ecuatiile dreptei.
Glow 'n' Show
utilizator
utilizator
Mesaje: 40
Membru din: 22 Ian 2017, 13:30
Localitate: Romania

Numere complexe

Mesaj de Glow 'n' Show » 21 Oct 2017, 22:17

Salut. Am o problema pe care nu stiu de unde s-o incep:
Notez cu zA= z indice A si cu zA^3= (z indice A) la puterea a 3-a
fie zA,zB,zC 3 numere complexe cu |zA|=|zB|=|zC|=1
zA+zB+zC=1 si zA^3+zB^3+zC^3=1
Demonstrati ca zA^(2n+1) , zB^(2n+1) , zC^(2n+1) sunt afixele varfurilor unui triunghi dreptunghic.
O sugestie?
* am incercat sa scriu corect matematic dar ceva nu merge..da,cu butonul "Insereaza formule matematice" *
ex: [tex]z_{A} + z_{B} + z_{C}=1[/tex]

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1537
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Numere complexe

Mesaj de gigelmarga » 21 Oct 2017, 23:10

Problema e o variațiune pe o temă clasică. Cred că prof. Marcel Țena a propus primul o problemă pe această idee.
Anume: dacă atunci două dintre numere au suma 0.

Problema apare pe site de mai multe ori. De asemenea, în ultimii 8 ani a fost propusă de cel puțin 4 ori la olimpiada județeană sau finală (deghizată în fel și chip). Căutați pe site.

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1537
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Numere complexe

Mesaj de gigelmarga » 22 Oct 2017, 01:10

Desigur, căutarea e mai dificilă pentru că majoritatea utilizatorilor site-ului nu realizează cât de importantă e denumirea postului. De exemplu, unii ar numi acest post în loc de "trei numere complexe cu același modul", ceea ce se găsește imediat cu un search, "Numere complexe" pur și simplu... :)

Glow 'n' Show
utilizator
utilizator
Mesaje: 40
Membru din: 22 Ian 2017, 13:30
Localitate: Romania

Re: Numere complexe

Mesaj de Glow 'n' Show » 22 Oct 2017, 12:11

Am gasit subiectul de la judeteana din 2016 unde era o problema asemanatoare, deci ca sa demonstrez ca zA^(2n+1) , zB^(2n+1) , zC^(2n+1) sunt afixele varfurilor unui triunghi dreptunghic, demonstrez ca 2 dintre ele sunt opuse diameteral? * nu am mai lucrat probleme de tipul asta, am nevoie de ajutor*

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1569
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Despre O, G, H ...

Mesaj de ghioknt » 22 Oct 2017, 20:52

Relațiile devin în complex ,
ceeace înseamnă că H se află pe cercul circumscris triunghiului ABC.
Ori, ortocentrul se poate afla pe cercul circumscris triunghiului, numai dacă el coincide cu unul dintre vârfuri, deci
triughiul este dreptunghic! Atunci celelalte două vârfuri sunt diametral opuse, adică, în condițiile în care O este și
originea sistemului de axe, afixele lor sunt opuse.
Se vede de aici că ultima ipoteză, cea cu cuburile, este de prisos.
Dar și ipoteza poate fi înlocuită cu ipoteza mai slabă
Fie triunghiul ABC înscris în cercul de centru O și rază R.

(prin transformarea sumelor în produse).
Se vede atunci că relația OH=R are loc numai dacă cosAcosBcosC=0, deci numai în triunghiuri dreptunghice.

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1537
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Numere complexe

Mesaj de gigelmarga » 22 Oct 2017, 21:29

Să presupunem că a,b,c sunt complexe și avem |a|=|b|=|c|=|a+b+c|=1 (valoarea poate fi oricât...am pus 1 pentru simplificarea scrierii).
Atunci, trecând la conjugate, obținem 1/a+1/b+1/c=1, deci (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=1, de unde (a+b+c)(ab+bc+ca)=abc.

Nu e greu de văzut că ultima egalitate e echivalentă cu (a+b)(b+c)(c+a)=0, deci...

Glow 'n' Show
utilizator
utilizator
Mesaje: 40
Membru din: 22 Ian 2017, 13:30
Localitate: Romania

Re: Numere complexe

Mesaj de Glow 'n' Show » 23 Oct 2017, 21:09

rezulta ca fie a=-b, fie a=-c fie b=-c deci daca consideram triunghiul ABC (inscris intr-un cerc de raza R si centru O )cu A de afix a, B de afix b si C de afix c, el va fi dreptunghic.
E bine?
( si multumesc frumos pentru explicatiile despre O,G,H, am inteles acum de unde au aparut relatiile dintre H si triunghiul dreptunghic)

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj