Sa se determine perechile (a,b) reale pentru care f:R->R ,
f(x)= { a*x, x sau b*x, x
are una dintre proprietatile:
1) este injectiva
2) este surjectiva
Eu am incercat sa gasesc prima data a,b pentru care e injectiva, si am pus in loc de x pe a/b
=> f(a/b)=a. dar f(1)=a => a/b=1 deci a=b sau a/b este rational. Cum as putea continua?
Multumesc anticipat.
quaintejuser (0)
Am incalcat vreo regula a forumului sau am scris ceva gresit in enunt?
Conditia a/b rațional este condiția necesară și suficientă și pentru injectivitate, și pentru surjectivitate.
Astfel, dacă f e injectivă, obținem a/b rațional, ca în postarea de mai sus.
Reciproc, dacă a/b e rațional, f e injectivă. Într-adevăr, să alegem x,y astfle ca f(x)=f(y). Dacă x,y au aceeași natură (ambele raționale sau ambele iraționale) obținem imediat x=y. Dacă, de pildă, x e rațional și y irațional, obținem ax=by, de unde a/b=y/x. Dar y/x e irațional, contradicție.
Dacă f e surjectivă, există x astfel ca f(x)=b. Dacă x e irațional, avem f(x)=bx=b, deci x=1, absurd. Deci x e rațional, de unde f(x)=ax=b și, evident, asta conduce la a/b rațional.
Reciproc, dacă a/b e rațional, f e surjectivă. Într-adevăr, fie y real arbitrar. Dacă y/a e rațional, f(y/a)=a*y/a=y. Dacă y/b este irațional, atunci f(y/b)=y. În caz contrar, y/a e irațional și y/b e rațional, deci raportul lor, a/b, e irațional, contradicție. Deci, în orice caz, găsim x real astfel ca f(x)=y.
Nu am inteles 2 chestii
Cum se face demonstratia ca daca a/b e rațional => f injectiva?
Si de ce la partea cu surjectivitatea , daca y/a e rațional si y/b e irational raportul a/b e rațional si in cazul cu y/a irational si y/b rational nu mai e asa?
E o glumă, sau ce?
„Reciproc, dacă a/b e rațional, f e injectivă. Într-adevăr, să alegem x,y astfel ca f(x)=f(y). Dacă x,y au aceeași natură (ambele raționale sau ambele iraționale) obținem imediat x=y. Dacă, de pildă, x e rațional și y irațional, obținem ax=by, de unde a/b=y/x. Dar y/x e irațional, contradicție.”
Mai citiți o dată.
Greșeala ta, quaintej, constă în strecurarea în textul tău a acelui și, care la gigelmarga nu există.
Dacă plecăm de la propoziția „există y real a. î. y/a irațional și y/b rațional”, care este evident falsă, ajungem la
concluzia că negația ei este adevărată.
Ori, negația ei este: „oricare ar fi y real, y/a este rațional sau y/b este irațional”; mai mult, acel sau
este unul disjunctiv, căci, asa cum singur ai băgat de seamă, nici aceste doua afirmații nu pot fi simultan adevărate.
Așadar, în ipoteza a/b rațional, pentru orice y real, ecuația f(x)=y are o singură soluție reală, y/a în prima situație,
y/b în cea de a doua, ceeace demonstrează și bijectivitatea funcției, nu doar surjectivitatea ei.
Oh, am inteles acum ambele chestiuni. Ma scuzati ca am pus intrebari stupide, ma mai incurc prosteste. Multumesc pentru idei si timpul acordat!