Se consideră numereke rationale a şi b, astfel încât ( 2 plus radical din 3 ) la n = a plus b radical din 3.
a) Să se arate că a patrat minus 3b patrat =1 (
b) Să se arate că numărul [(2 + radical din 3)^n + (2 – radical din 3)^n]\ 2 radical din 3 este intreg pt oricare n din N.
ClaudiuCuser (0)
(2+√3) ^n=a+b√3=C_n^02^n+C_n^12^(n-1)√3+C_n^22^(n-2).3+C_n^32^( n-3)3.√3+…………………..unde ;
a=C_n^0.2^n+C_n^22^(n-2).3+C_n^42^(n-4).3^2+………………………….si ∈N
b=C_n^12^(n-1)+ C_n^32^(n-3).3+C_n^52^(n-5).3^2+………………………..iar
(2-√3)^n=C_n^02^n-〖 C〗_n^12^(n-1).√3+C_n^22^(n-2).3-C_n^32^(n-3).3√3+⋯..=a-b√3
SA se arate ca;a^2-3b^2=1
a)(2+√3)^n.(2-√3)^n=1=( a+b√3)(a-b√3)=a^2-3b^2
b)(2+√3)^n +(2-√(3))^n=a+b√3+a-b√3=2a∈N
)