Să se stabilească egalitătile :
a) (C de n luate cate 0)^2 + (C de n luate cate 1)^2+…+ (C de n luate cate n )^2 = C de 2n luate cate n
b) C de n luate cate 0 * C de n luate cate 1 + C de n luate cate 1 * C de n luate cate 2 +…+ C de n luate cate n-1 * C de n luate cate n = n/(n+1) * C de 2n luate cate n .
Multumesc !
La a) incearca sa pleci de la faptul ca . Calculezi in stanga si in dreapta coeficientul lui . Mai trebuie sa tii cont de faptul ca
LE: La fel se poate face si b). Acum trebuie sa calculezi coeficientul lui precum si raportul
Multumesc frumos ! Dar imi poti explica te rog de ce ai plecat de la această formula ?
In matematica te joci cu diverse incercari. In general, prima incercare nu duce la reusita.
La a) lucrurile stateau ceva mai simplu. In primul rand in dreapta vedem coeficientul desfasurarii unui binom. In stanga se vede un produs de 2 coeficienti. De aici a rezultat ideea impartirii in acel fel. Singura chestie ce mai trebuia sincronizata erau „k”-urile. Iar asta a venit cu deja mentionata formula .
La b) am avut mai multe tentative pentru suma „k”-urilor era n+1. Prima data m-am gandit la , care evident n-a dus nicaieri. A doua incercare a fost cea din solutia data.
De altfel acesta e si motivul pentru care n-am dat de la inceput solutia la b.
Egalitatile se obtin imediat folosind identitatea Vandermonde
care rezulta imediat daca numaram in doua moduri in cate feluri putem alege o echipa de k persoane dintr-o multime de n baieti si m fete.
Pentru prima egalitate, luam n=m=k si folosim formula combinarilor complementare, pentru a doua, luam m=n+1.