Ecuatie

Multimi. Logica. Functii si lecturi grafice. Functia de gradul II. Vectori in plan. Trigonometrie. Aplicatii ale trigonometriei.
Semaka
junior
junior
Mesaje: 104
Membru din: 29 Sep 2015, 09:25

Ecuatie

Mesaj de Semaka » 09 Noi 2017, 09:33

Vreau sa stiu si eu daca urmatoarea ecuatie se poate rezolva
la nivel de clasa lX-a
x^4+4x-1=0

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Ecuatie

Mesaj de Integrator » 11 Noi 2017, 07:55

Semaka scrie:
09 Noi 2017, 09:33
Vreau sa stiu si eu daca urmatoarea ecuatie se poate rezolva
la nivel de clasa lX-a
x^4+4x-1=0
Bună ziua,

Dacă la clasa IX se fac numerele complexe atunci se poate.Dacă nu , atunci ecuația se poate rezolva la nivel de clasa IX doar pentru a găsi soluțiile reale.
--------------------------------------------
Ce rezultă din identitatea ?Cum găsim soluțiile reale?

Toate cele bune,

Integrator

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1571
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Ecuatie

Mesaj de ghioknt » 11 Noi 2017, 22:37

După efectuarea înmulțirilor și identificarea coeficienților, rezultă un sistem de ecuații cu necunoscutele a, b, c, d.

Din a doua și a treia ecuație exprimi b și d în funcție de a: ,
care, introduse în ultima relație, dau ecuația din care s-ar putea afla posibilele valori ale lui a
.
Observând că funcția este strict crescătoare, f(1)<0, f(2)>0, deducem că ecuația f(u)=0, dacă are o soluție reală, aceasta este unică și cuprinsă în intervalul (1; 2). Deci putem conta pe un a pozitiv, în
Ecuația ,
iar ecuația .
Pentru rezolvarea completă a ecuației, mai trebuie să aflăm pe a. O ecuație de forma , așa cum este cea de mai sus, are o soluție reală de forma .
Pentru ecuația noastră trebuie doar să "potrivim" A și B a. î. să avem

A și B, pentru care am aflat suma și produsul, sunt rădăcinile, reale de această dată, ale ecuației

Înlocuiești pe a din expresiile celor 4 rădăcini cu acest numar și obții rădăcinile în toată splendoarea lor.

Cred că este clar de ce, în zilele noastre, nu se rezolvă prin mijloace de clasa a 9-a asemenea ecuații.

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Ecuatie

Mesaj de Integrator » 12 Noi 2017, 08:14

ghioknt scrie:
11 Noi 2017, 22:37
După efectuarea înmulțirilor și identificarea coeficienților, rezultă un sistem de ecuații cu necunoscutele a, b, c, d.

Din a doua și a treia ecuație exprimi b și d în funcție de a: ,
care, introduse în ultima relație, dau ecuația din care s-ar putea afla posibilele valori ale lui a
.
Observând că funcția este strict crescătoare, f(1)<0, f(2)>0, deducem că ecuația f(u)=0, dacă are o soluție reală, aceasta este unică și cuprinsă în intervalul (1; 2). Deci putem conta pe un a pozitiv, în
Ecuația ,
iar ecuația .
Pentru rezolvarea completă a ecuației, mai trebuie să aflăm pe a. O ecuație de forma , așa cum este cea de mai sus, are o soluție reală de forma .
Pentru ecuația noastră trebuie doar să "potrivim" A și B a. î. să avem

A și B, pentru care am aflat suma și produsul, sunt rădăcinile, reale de această dată, ale ecuației

Înlocuiești pe a din expresiile celor 4 rădăcini cu acest numar și obții rădăcinile în toată splendoarea lor.

Cred că este clar de ce, în zilele noastre, nu se rezolvă prin mijloace de clasa a 9-a asemenea ecuații.
Bună ziua,

La clasa a IX-a se fac azi ecuații de gradul II cu o necunoscută? :idea:
Eu am terminat de mult liceul și nu mai știu exact ce se mai face azi la matematică la diverse clase....Dacă nu se poate rezolva cum am spus atunci putem rezolva altfel si anume așa cum a rezolvat-o foarte elegant utilizatorul "Alimath" (transformând membrul stâng al ecuației de gradul IV într-o diferență de două pătrate care se poate scrie în final ca un produs de două polinoame de gradul II):
viewtopic.php?t=3871

Cu stimă,

Integrator

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1571
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Ecuatie

Mesaj de ghioknt » 12 Noi 2017, 14:45

Scuze pentru neatenție! Eu am chinuit ecuația x^4 +3x-1=0, în loc de x^4+4x-1=0. :?
Acum, dacă tot am scris atâta, să luăm aminte că și acest polinom - ca și oricare altul de gradul 4 - se poate descompune ca o diferență de pătrate:
cu condiția ca "a" să satisfacă ,
adică să aibă valoarea găsită de mine.

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Ecuatie

Mesaj de Integrator » 12 Noi 2017, 19:02

ghioknt scrie:
12 Noi 2017, 14:45
Scuze pentru neatenție! Eu am chinuit ecuația x^4 +3x-1=0, în loc de x^4+4x-1=0. :?
Acum, dacă tot am scris atâta, să luăm aminte că și acest polinom - ca și oricare altul de gradul 4 - se poate descompune ca o diferență de pătrate:
cu condiția ca "a" să satisfacă ,
adică să aibă valoarea găsită de mine.
Bună seara,

Eu zic că și prin indicația mea se poate rezolva acea ecuație la nivel de clasa a IX-a și anume:
Din identitatea rezultă și deci avem , , , de unde obținem ecuația care , prin metoda de transformare a membrului stâng al ecuației sub forma unui produs de două polinoame , se mai poate scrie si astfel găsim valoarea lui coificientului și implicit valorile coieficienților , și .Metoda aceasta este mai greoaie dar poate fi reținută , zic eu , ca o idee de rezolvare la nivel de clasa a IX-a...
Dacă la clasa a IX-a se învață rezolvarea ecuațiilor de gradul III , atunci ecuația se poate rezolva foarte ușor.
Rezolvarea dată de "Alimath" este mai simplă și mai elegantă , dar în astfel de cazuri trebuie să se vadă ce artificii de calcul sunt necesare pentru a ușura calculele...

Cu stimă,

Integrator

Semaka
junior
junior
Mesaje: 104
Membru din: 29 Sep 2015, 09:25

Re: Ecuatie

Mesaj de Semaka » 20 Noi 2017, 22:13

Va multumesc pt raspunsuri

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj