Am o tema foarte mate pentru vacanta si am nevoie de ajutor pentru rezolvarea problemelor de geometrie.
1.fie un triunghi ABC si un punct O din planul sau se construiesc paralologramele OABM, OBCN, OCAP sa se arate ca O este centrul de greutate al triunghiului MNP.
2. in triunghiul ABC se considera bisectoarele (AD, (BE, (CF unde
D apartine (BC, E apartine (AC, F apartine (AB.
Aratati ca triunghiul ABC este echilateral daca si numai daca
(b+c)AD+(a+c)BE+(b+a)CF=0
3. Cercul inscris triunghiului ABC este tangent laturilor [AB],[BC],[CA] in punctele M,N,P. Daca AN+BP+CM=0 aratati ca triunghiul ABC este echilateral
Se învaţă următoarele:
a) Un punct O este centrul ge greutate al unui triunghi MNP dacă şi numai dacă
b) OABM este paralelogram dacă şi numai dacă (si analoagele).
Atunci
Rămâne să tragi singur concluzia.
Din teorema bisectoarei se ştie că
Considerând şi intersecţia I a bisectoarelor şi aplicând teorema lui Menelaos pentru triunghiul ADC şi transversala B-I-E obţii:
Ţinând cont de sensurile vectorilor, relaţia de mai sus se poate scrie şi şi analoagele.
Înseamnă (vezi problema precedentă) că I este şi centrul de greutate al triunghiului, adică bisectoarele sunt şi mediane
şi reciproc.
Foloseşti relaţiile: AM=AP=p-a, BM=BN=p-b, CN=CP=p-c.
În fiecare dintre relaţii prantezele trebuie să aibă semne contrare; din prima rezultă că b este latura mijlocie, din a doua,
că c este latura mijlocie, de unde b=c şi apoi că b=a.