nu ma prea descurc …
multumesc
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Nu prea vad cum s-ar putea face aceste probleme prin inductie.
Insa se pot rezolva foarte usor si rapid folosind inegalitatile mediilor.
Indicatii:
1.
2.
Fie P(n)->∏_(k=1)^n▒(1+a_(k-1)/a_k ) ≥2^n
1)P(2)->(1+a1/a2)(1+a2/a1)=1+1+a1/a2+a2/a1=2 +a1/a2+a2/a1>=4=2^2
2)Fie P(m)->(1+a1/a2)(1+a2/a3)(..)(1+am/a1)>=2^m adevartat
3)considerand 2)sa se arate ca si P(m+1) este adevarat adica;
(1+a1/a2)(1+a2/a.3)()(1+am/a(m+1)).(1+a(m+1)/a1)>=2^(m+1)=
(1+a1/a2)(1+a2/a3)(.)(1+am/a1)[(1+am/a(m+1))(1+a(m+1))/(1+am/a1)]>=2^m.2sau tinand seama de 2) avem sa aratam ca (1+am/a(m+1))(1+a(m+1)/a1)>=2.(1+am
/a1) sau;1+am/a1+am/a(m+1)+a(m+1)/a1>=2(1+am/a1) sau
am/a(m+1)+a(m+1)/a1>=1+am/a1 sau¨am/a(m+1)-1=(am-a(m+1))/a(m+1)>=(am-a(m+1))/a1sau ;a1>=a(m+1) Trebuie pusa si condita ca a1>=a2>=a3>=..>=an In acest caz P(n) adevarat
super!!!
merci mult!
Fie P(n)->∏_(k=1)^n▒〖(1+ak)≥2^n,pentru orice ak〗 (0,1) si ∏_(k=1)^n▒〖ak=1〗
1)P(2)->(1+a1)(1+a2)=1+a1a2+(a1+a2) Cum a1a2=1 si a1+a2>=2√a1a2=2 rezulta (1+a1)(1+a2)≥2^2→adevarat
2) fie P(m)-> ∏_(k=1)^m▒〖(1+ak)≥2^m,pentru orice ak〗 (0,1) si ∏_(k=1)^m▒〖ak=1〗→adevara
3) Sa se arate ca si P(m+1)→∏_(k=1)^(m+2)▒〖(1+ak)≥2^(m+2),pentru orice ak〗 (0,1) si ∏_(k=1)^(m+2)▒〖ak=1〗
daca2) adevarat
Obs; Padul 3)presupune a utiliza marimile folosite in pasul 2)din aceasta cauza vompune conditia ca ,marimile(a1,a2,a3,am)sunt cele de la pasul 2) si a(m+1)*a(m+2)=1.In acest caz;∏_(k=1)^(m+2)▒(1+ak) =[∏_(k=1)^m▒(1+ak) ](1+a(m+1))(1+a(m+2))>=
2^m.(1+a(m+1))(1+a(m+2))+a(m+1)+a(m+2))>=2^(m+2)